A raiz quadrada é uma operação básica e importante da Matemática. Se trata da operação inversa da potenciação. Assim, calcular a raiz quadrada de um número n é descobrir qual número elevado ao quadrado resulta em n. Por exemplo, a raiz quadrada de 9 é igual a 3, pois, 3² é 9. Uma raiz quadrada pode ser exata, gerando um número chamado de quadrado perfeito, ou pode ser não exata.
Leia também: Expressões numéricas — o conjunto de operações fundamentais a serem calculadas
Resumo sobre raiz quadrada
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A raiz quadrada é uma radiciação que possui o índice igual a 2.
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Ela é a operação inversa de uma potência de expoente 2.
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Seus elementos fundamentais são: índice, radical, radicando e raiz.
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A raiz quadrada de um número a é representada por √a.
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Pode ser exata ou não exata.
Videoaula sobre raiz quadrada
A radiciação é uma das operações básicas da Matemática, sendo a operação inversa da potência. Existem vários tipos de raiz, como a raiz cúbica e a raiz quarta, mas a mais utilizada é a raiz quadrada.
Quando calculamos, por exemplo, a raiz quadrada de um número a, o resultado dessa operação será o número que, ao elevarmos ao quadrado, resultará em a. Os outros casos de radiciação seguem o mesmo raciocínio. A raiz cúbica de um número x é o número cujo cubo é igual a x. Dizemos, por exemplo, que a raiz cúbica de 27 é 3, pois 3³ = 27. De forma semelhante, dizemos que a raiz quadrada de 81 é 9, pois 9² = 81.
O que é raiz quadrada?
A raiz quadrada é um caso particular da radiciação, sendo o mais comum deles. Conhecemos como raiz quadrada a radiciação com índice igual a 2. A raiz quadrada é a operação inversa da potência com o expoente 2, pois quando calculamos a raiz quadrada de um número a, estamos procurando qual número ao quadrado é igual a a. Quando o radical não apresenta número no índice, calcula-se a raiz quadrada do radicando.
Exemplos:
√4 = 2, pois 2² = 4
√9 = 3, pois 3² = 9
√16 = 4, pois 4² = 16
√25 = 5, pois 5² = 25
Como calcular a raiz quadrada?
Para calcular a raiz quadrada de um número, geralmente recorremos à tabuada. Entretanto, quando o número é maior que 100, é possível utilizar o processo de fatoração para calcular a raiz quadrada exata.
Ao realizar uma fatoração, agrupamos os fatores de dois em dois, já que é a raiz quadrada exata que estamos buscando. Já quando estamos calculando uma raiz quadrada não exata, utilizamos aproximações.
Saiba também: Propriedades dos radicais — simplificam e resolvem raízes de qualquer índice
A raiz quadrada exata ocorre quando o resultado da operação é um número racional. Os exemplos supracitados são casos de raiz quadrada exata. Por exemplo, a √16 é exata porque o seu resultado é 4, que é um número racional. Quando há no radicando um número com raiz quadrada desconhecida, utilizamos fatoração para calcular uma raiz exata.
Exemplo:
Calcule o valor da √324.
Resolução:
Para encontrar a √324, inicialmente fatoraremos esse número:
Dessa forma, calcula-se:
√0 = 0
√1 = 1
√4 = 2
√9 = 3
√16 = 4
√25 = 5
√36 = 6
√49 = 7
√64 = 8
√81 = 9
√100 = 10
Os números que possuem raiz quadrada exata são conhecidos como quadrados perfeitos.
Em muitos casos, o número pode não possuir uma raiz quadrada exata, ou seja, a solução da raiz quadrada é um número irracional. Para calcular uma raiz quadrada não exata, utilizamos aproximações, ou seja, números que quando elevamos ao quadrado chegam bem próximo do resultado desejado.
Exemplo:
Calcule o valor da √60.
Resolução:
Sabemos que essa raiz não é exata, então, primeiramente, identificaremos qual é o número anterior a 60 que possui raiz exata, que é 49, e também o número posterior a 60 que possui raiz exata, que é 64.
√49 < √60 < √64
Calculando as raízes de 49 e 64:
7 < √60 < 8
Note que 60 está próximo de 64, então a √60 estará próxima de 8. Calcularemos, assim, o quadrado dos números próximos a 8.
7,9² = 62,41
7,8² = 60,84
7,7² = 59,29
Descobrimos que a √60 está entre 7,7 e 7,8.
Portanto, dizemos que a √60 = 7,7 por falta ou que a √60 = 7,8 por excesso.
Exercícios resolvidos sobre raiz quadrada
Questão 1
(Ethos concursos) A raiz quadrada de um número é uma importante operação matemática, assim como a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão. Somente alguns números possuem raiz quadrada, aqueles considerados quadrados perfeitos. Sendo assim, calcule a raiz quadrada de 625 e assinale a alternativa CORRETA.
A) 35
B) 24
C) 25
D) 17
E) 49
Resolução:
Alternativa C
Inicialmente, realizaremos a fatoração do número:
Dessa forma, temos:
√625 = √54
√625 = 5²
√625 = 25
Questão 2
Sobre a raiz quadrada, julgue as afirmativas a seguir:
I → É possível calcular a raiz quadrada de número negativo.
II → Os números 0, 1, 4, 9 e 16 são todos quadrados perfeitos menores que 20.
III → A raiz quadrada de 6 é igual a 3.
As afirmativas são, respectivamente:
A) V, V e V.
B) F, F e F.
C) F, F e V.
D) F, V e F.
E) V, F e V.
Resolução:
Alternativa D
I → Falsa
A potência de dois possui resultado somente positivo, logo, não é possível calcular a raiz quadrada de um número negativo.
II → Verdadeira
Os números listados são os únicos que possuem raiz exata menores que 30.
III → Falsa
3² = 9, logo, a raiz quadrada de 9 é 3, e não a de 6.
Teste seus conhecimentos com esta lista de exercícios sobre raiz quadrada e verifique se você domina suas propriedades.
Questão 1
Calculando a raiz quadrada de 2304, encontramos como solução:
A) 42
B) 44
C) 48
D) 52
E) 54
Questão 2
Uma região no formato de quadrado possui área igual a 729 m². Diante disso, qual é a medida do lado dessa região, em metros?
A) 19
B) 21
C) 23
D) 25
E) 27
Questão 3
Ao resolver a seguinte expressão:
\(\sqrt{\sqrt{81}}+\sqrt{16}-\sqrt{225}+\sqrt{144}\)
Encontramos como resultado
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Questão 4
Um retângulo possui comprimento e largura medindo, respectivamente, \(\sqrt{18}\) e \(\sqrt{72}\) metros. O perímetro desse retângulo, em metros, é de:
A) \(2\sqrt3\)
B) \(9\sqrt2\)
C) \(18\sqrt2\)
D) \(15\sqrt3\)
Questão 5
Sobre as propriedades da raiz quadrada, julgue as afirmativas a seguir:
I. \(\ \sqrt4\cdot\sqrt5=\sqrt{20}\)
II. \(\ \sqrt2+\sqrt3=\sqrt5\)
III. \(\sqrt4\ -\sqrt3=\sqrt1\)
A) Somente a afirmativa I é verdadeira.
B) Somente a afirmativa II é verdadeira.
C) Somente a afirmativa III é verdadeira.
D) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
E) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
Questão 6
(Cefet/RJ 2015) Considere m a média aritmética dos números 1, 2, 3, 4 e 5. Qual é a opção que mais se aproxima do resultado da expressão abaixo?
A) 1,1
B) 1,2
C) 1,3
D) 1,4
Questão 7
(IFSC 2018) Analise as afirmações seguintes:
I. \(-5^2-\sqrt{16}\bullet\left(-10\right)\div\left(\sqrt5\right)^2=-17\)
II. \(35\div\left(3+\sqrt{81}-2^3+1\right)\times2=10\)
III. Efetuando-se \(\left(3+\sqrt5\right)\left(3-\sqrt5\right)\), obtém-se um número múltiplo de 2.
Assinale a alternativa CORRETA.
A) Todas são verdadeiras.
B) Apenas I e III são verdadeiras.
C) Todas são falsas.
D) Apenas uma das afirmações é verdadeira.
E) Apenas II e III são verdadeiras.
Questão 8
Sobre a raiz quadrada, julgue as afirmativas a seguir, utilizando V para verdadeira e F para falsa:
I. \(\sqrt{-4}=-2\)
II. \(\sqrt{2+7}=\sqrt2+\sqrt7\)
III. \(\sqrt{\sqrt{16}}\ =\ 2\)
As afirmativas são, respectivamente:
A) FFF
B) VVV
C) VFF
D) FFV
E) FVV
Questão 9
(PM Piauí 2009 Nucepe) A expressão \(\sqrt{18}+\sqrt{50}\) é equivalente a:
A) \(\ 2\sqrt2\)
B) \(\ 3\sqrt2\)
C) \(8\sqrt2\)
D) \(15\sqrt2\)
E) \(8\sqrt3\)
Questão 10
Simplificando a seguinte expressão:
\(\sqrt{4\ -\ \sqrt5}\ \cdot\sqrt{4+\sqrt5}\)
encontramos como resultado
A) 2
B) 3
C) 4
D) 6
E) 9
Questão 11
Sabendo que os lados do seguinte retângulo foram dados em metros, a forma simplificada da área desse polígono é igual a:
A) \(5\sqrt6\) m
B) \(10\sqrt6\) m
C) \(6\sqrt5\) m
D) \(5\sqrt2\) m
E) \(\ 4\sqrt{10}\) m
Questão 12
(UFPI) Desenvolvendo a expressão:
\(\left(\sqrt[2]{27}+\sqrt[2]{3}-1\right)^2\)
Encontramos um número no formato:
\(a+b\sqrt[2]{3}\)
Com a e b inteiros. O valor de a + b é:
A) 59
B) 47
C) 41
D) 57
E) 1
Resposta - Questão 1
Alternativa C
Realizando a fatoração de 2304:
2304 = \(2^2\cdot2^2\cdot2^2\cdot2^2\cdot3^2\)
Portanto:
\(\sqrt{2304}=\sqrt{2^2\cdot2^2\cdot2^2\cdot2^2\cdot3^2}=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3=48\)
Resposta - Questão 2
Alternativa E
Para encontrar a medida do lado da região que possui formato de quadrado, basta calcularmos a raiz quadrada de 729.
Logo, temos que:
\(729=3^2\cdot3^2\cdot3^2\)
\(\sqrt{729}=\sqrt{3^2\cdot3^2\cdot3^2}=3\cdot3\cdot3=\ 27\ m\)
Resposta - Questão 3
Alternativa B
Calculando cada uma das raízes quadradas:
\(\sqrt9+4-15+12\)
\(3\ +\ 4\ -\ 15\ +\ 12\)
\(4\ \)
Resposta - Questão 4
Alternativa C
Sabemos que:
\(18=3^2\cdot2\)
\(72=2^2\cdot2\cdot3^2\)
Logo, temos que:
\(\sqrt{18}=\sqrt{3^2\cdot2}=3\sqrt2\)
\(\sqrt{72}=\sqrt{2^2\cdot2\cdot3}=2\cdot3\sqrt2=6\sqrt2\)
Portanto, o perímetro desse retângulo é igual a:
\(P=2\left(3\sqrt2+6\sqrt2\right)\)
\(P=2\cdot9\sqrt2\)
\(P=18\sqrt2\)
Resposta - Questão 5
Alternativa A
I. Verdadeira
Uma das propriedades da raiz quadrada é que podemos multiplicar o radicando, como foi feito. Logo, temos que:
\(\sqrt4\cdot\sqrt5=\sqrt{4\cdot5}=\sqrt{20}\)
II. Falsa
A soma de duas raízes gera resultado diferente da soma dos radicandos. Assim, não podemos somá-los.
III. Falsa
A diferença de duas raízes não é igual à diferença dos seus radicandos, logo, essa não é uma propriedade da raiz quadrada.
Resposta - Questão 6
Alternativa D
De início, calcularemos a média aritmética entre 1, 2, 3, 4 e 5:
\(m=\frac{1+2+3+4+5}{5}\)
\(m=\frac{15}{5}\)
\(m\ =\ 3\)
Substituindo m = 1 na expressão:
\(\sqrt{\frac{\left(1-3\right)^2+\left(2-3\right)^2+\left(3-3\right)^2+\left(4-3\right)^2+\left(5-3\right)^2}{5}}\)
\(\sqrt{\frac{\left(-2\right)^2+\left(-1\right)^2+0^2+1^2+2^2}{5}}\)
\(\sqrt{\frac{4+1+0+1+4}{5}}\)
\(\sqrt{\frac{10}{5}}\)
\(\sqrt2\ \approx1,4\)
Resposta - Questão 7
Alternativa B
I. Verdadeira
\(-5^2-\sqrt{16}\bullet\left(-10\right)\div\left(\sqrt5\right)^2=-17\)
\(-25-4\bullet\left(-10\right)\div5=-17\)
\(-25\ +\ 40\ \div\ 5\ =\ -17\)
\(-25\ +\ 8\ =\ -17\)
\(-17\ =\ -17\)
II. Falsa
\(35\div\left(3+\sqrt{81}-2^3+1\right)\times2=10\)
\(35\div\left(3+9-8+1\right)\times2=10\)
\(35\ \div\ 5\ \times\ 2\ =10\)
\(7\ \times\ 2\ =10\)
\(14\ =10\ \)
III. Verdadeira
\(\left(3+\sqrt5\right)\left(3-\sqrt5\right)=3^2-\sqrt{5^2}\ =\ 9\ -\ 5\ =\ 4\)
Resposta - Questão 8
Alternativa D
I. Falsa
Não há raiz quadrada de números negativos.
II. Falsa
Sabemos que 2 + 7 = 9 e que \(\sqrt9=3\). Por outro lado, \(\sqrt2+\sqrt7\ \) é diferente de 3, logo, essa não é uma propriedade possível para a radiciação.
III. Verdadeira
\(\sqrt{\sqrt{16}}=\sqrt4=2\)
Resposta - Questão 9
Alternativa C
Simplificando, temos que:
\(\sqrt{18}+\sqrt{50}\)
\(\sqrt{2\cdot9}+\sqrt{2\cdot25}\)
\(3\sqrt2+5\sqrt2\)
\(8\sqrt2\)
Resposta - Questão 10
Alternativa B
\(\sqrt{4\ -\ \sqrt5}\ \cdot\sqrt{4+\sqrt5}\)
\(\sqrt{\left(4-\sqrt5\right)\cdot\left(4+\sqrt5\right)}\)
\(\sqrt{4^2-\sqrt{5^2}}\)
\(\sqrt{16-5}\)
\(3\)
Resposta - Questão 11
Alternativa B
Sabemos que a área do retângulo é igual ao produto da base pela altura:
\(A=\sqrt{30}\cdot\sqrt{20}\)
\(A=\sqrt{30\cdot20}\)
\(A\ =\ \sqrt{\left(3\cdot5\cdot2\right)\cdot\left(2^2\cdot5\right)}\)
\(A=\sqrt{3\cdot2\cdot2^2\cdot5^2}\)
\(A=2\cdot5\sqrt{3\cdot2}\)
\(A=10\sqrt{6\ }\)
Resposta - Questão 12
Alternativa C
Simplificando a expressão:
\(\left(\sqrt[2]{27}+\sqrt[2]{3}-1\right)^2\)
\(\left(\sqrt[2]{3\cdot3^2}+\sqrt[2]{3}-1\right)^2\)
\(\left(3\sqrt[2]{3}+\sqrt[2]{3}-1\right)^2\)
\(\left(4\sqrt[2]{3}-1\right)^2\)
Calculando o quadrado da diferença:
\(16\cdot3-2\cdot4\sqrt[2]{3}+1^2\)
\(48-8\sqrt[2]{3}+1\)
\(49-8\sqrt[2]{3}\)
Se a = 49 e b = – 8, então:
a + b = 49 – 8 = 41