Podemos dizer que módulo é o mesmo que distância de um número real ao número zero, pois o módulo de número real surgiu da necessidade de medir a distância de um número negativo ao zero. Ao medirmos a distância de um número negativo qualquer ao zero percebe-se que a distância fica negativa e como não é usual dizer que uma distância ou comprimento é negativo foi criado o módulo de número real que torna o valor positivo ou nulo.
Assim, podemos dizer que o módulo de um número real irá seguir duas opções:
• O módulo ou valor absoluto de um número real é o próprio número, se ele for positivo. • O módulo ou valor absoluto de um número real será o seu simétrico, se ele for negativo.A representação de um módulo ou valor absoluto de um número real é feito por duas barras paralelas.
Veja o resumo da definição de módulo de um número real abaixo:
|x| = x, se x ≥ 0 -x, se x < 0
Veja alguns exemplos de como calcular módulo ou valor absoluto de números reais. • |+4| = 4 • |-3| = - (-3) = 3 • |10 – 6 | = |+4| = 4 • |-1 – 3| = |-4| = - (-4) = 4 • |-1| + |5| - |6| = -(-1) + 5 – 6 = 1 + 5 - 6 = 6 – 6 = 0 • - | -8| = -[-(-8)] = - 8 Veja alguns exemplos de como encontrar o módulo de valores desconhecidos. • |x + 2| nesse caso teremos duas opções, pois não sabemos o valor da incógnita x. Assim, seguimos a definição: x + 2, se x + 2 ≥ 0, ou seja, x ≥ -2 - (x + 2), se x + 2 < 0, ou seja, x < -2 • |2x – 10| 2x – 10, se 2x – 10 ≥ 0, ou seja, 2x ≥ 10 → x ≥ 5 -(2x – 10), se 2x – 10 < 0, ou seja, 2x < 10 → x < 5• |x2 – 9|
x 2 – 9, se x2 – 9 ≥ 0
x 2 – 9 ≥ 0
x 2 ≥ 9 x ≥ 3 ou x ≤ -3
- (x 2 – 9) , se x2 – 9 < 0
x2 – 9 < 0
x2 < 9 -3 < x < 3
Concluímos que o módulo de um número real é sempre positivo ou nulo.
Publicado por Danielle de Miranda
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O conjunto dos números inteiros, representado por , inclui os números naturais e exclui os números exclusivamente racionais ou irracionais. Portanto, dentro dos inteiros, há todos os números positivos e negativos desde que não sejam decimais. Para demonstrar a distribuição dos números inteiros, nós utilizamos a reta numérica:
O (+3) e o (-3) possuem o mesmo módulo, pois ambos estão três unidades distantes da origem
Nessa reta estão destacados os números – 3 e +3. Queremos verificar a distância desses números em relação ao ponto zero, que podemos chamar de origem. Se considerarmos que os espaços entre um número e outro possuem o mesmo tamanho, podemos chamar essa distância de “uma unidade”. Logo, no desenho, cada seta representa uma unidade.
Analisando a imagem, vemos que o – 3 está a três unidades da origem, e que o +3 também está a três unidades da origem, mas em sentido oposto ao – 3.
Essa distância de um número à origem é chamada de módulo ou valor absoluto de um número e é representada da seguinte forma: módulo de – a = |– a| = a. O módulo de um número sempre será positivo, pois ele representa uma distância variável positiva. Portanto, vejamos alguns exemplos de módulos:
|– 3| = 3
|+ 2| = 2
| 0 | = 0
|– 9| = 9
|+10| = 10
|– a|= a
|+ a| = a
Chamamos por números opostos ou simétricos aqueles números que possuem mesmo módulo ou valor absoluto, isto é, aqueles números que estão a mesma distância da origem, porém em sentidos opostos. Sendo assim, podemos afirmar que:
– 2 e + 2 são opostos ou simétricos
– 3 e + 3 são opostos ou simétricos
+ 4 e – 4 são opostos ou simétricos
+a e – a são opostos ou simétricos
E o que acontece quando operamos números opostos ou simétricos?
|- 4| + |+ 3| = 4 + 3 = 7
|+ 1| – |- 5| = 1 – 5 = – 4
|- 5|+|+7|-|-10| = 5 + 7 – 10 = + 2
(+4) + (– 4) = 0
(– 2) + (+ 2) = 0
Se nós estivermos realizando operações com o módulo ou o valor absoluto dos números, basta que nós façamos o cálculo independente do valor do número dentro do módulo. Agora, se somarmos números que se diferenciam apenas pelo sinal, uma vez que são simétricos, nossa soma sempre resultará em zero.
Por Amanda Gonçalves
Graduada em Matemática