Quando a raiz quadrada passa para depois do igual

Eai galera, neste post irei ensinar sobre os Expoentes e as Raízes, e como usá las numa equação

Para entender este conteúdo, você deve saber sobre:

•Equações de primeiro grau de uma incógnita (Aprenda aqui)

•Números negativos e parênteses (Aprenda aqui)

Vamos lá:

Introdução à potência

Bom, para começar, vamos entender o que é uma potência;

Supondo que há um número qualquer sendo multiplicado por ele várias vezes, neste exemplo vou usar o 3

Caso eu tiver 3 • 3 , eu posso deixar isso em forma de potência , e como faz isso? A potência é nada mais que um número que fica acima do outro em escala Menor , representando o número de vezes que esse número foi multiplicado por si mesmo , veja:

Veja que há um número "2" em pequena escala acima do "3", então temos uma potenciação

Ao invés de colocar um número acima do outro para representar a potência, alguns matemáticos colocam este sinal (^) para representa la, como por exemplo , aquela potência que foi mostrada acima pode ser representada por 3^2 , que é lido como [I]3 elevado à 2, no qual, o número 2 que é a potência (ou expoente) significa quantas vezes a base (o número que está em baixo da potência, neste exemplo, o 3) será multiplicada por ela mesma

Então teremos que 3^2 equivale a 3•3, que resulta em 9

3^3 equivale a 3•3•3 , resulta em 27

3^4 equivale a 3•3•3•3, resulta em 81

10^2 equivale a 10•10, resulta em 100

E assim vai por diante...

Exemplos

Antes de fazer alguma conta , sempre lembre se da ordem de resolver as operações:

1º resolve expoentes e raizes

2º resolve multiplicação e divisão

3º resolve adição e subtração

(Veja mais detalhadamente aqui)

Vamos fazer alguns exemplos:

Ex1:

3^2 • 4 + 50

( 3 • 3 ) • 4 + 50

9 • 4 + 50

36 + 50 = 86

Ex2:

5^2 + 5^3 • 10

( 5 • 5 ) + ( 5 • 5 • 5 ) • 10

25 + 125 • 10

25 + 1250 = 1275

Algumas propriedades

O expoente tem suas variantes e formas diferentes de fazer, vamos ver algumas delas:

•Expoente negativo

Para resolver um expoente negativo, você precisa transformar ele em fração, colocando o número "1" como denominador , e a potência inteira no denominador , com o expoente positivo

Veja:

E então é só resolver a potência do denominador e dividir

•Potência do expoente

Às vezes os expoentes podem fazer papel de base para outros expoentes, sendo assim uma potência múltipla, um exemplo de potência múltipla é 3^3^2

Como se resolve? Você tem que resolver de cima para baixo (ou direita para esquerda) ou seja, no exemplo, você deve resolver primeiro 3^2 , que dá 9, este resultado vai ser o expoente da outra base, e então fica 3^9, que dá um número bem maior , veja:

Caso tenha mais cadeias de expoentes, você resolve de cima para baixo até achar o resultado (caso ele não seja tão enorme)

•Sinal alternado em bases negativas

Quando uma potência possui a base negativa, devemos tomar cuidado com qual sinal ela deve resultar (positivo ou negativo), para saber, devemos olhar para o expoente, se ele for par, o resultado será positivo, se ele for ímpar, será negativo

Veja:

-3^2 = -3 • -3 = 9

-5^3 = -5 • -5 • -5 = -125

-2^5 = -2 • -2 • -2 • -2 • -2 = -32

•Decomposição de expoente

Podemos decompor um expoente e separa los em mais de uma potência diferente , veja:

2^4 = 2^(2+2) = 2^2 • 2^2 = 4 • 4 = 16

2^6 = 2^(3+3) = 2^3 • 2^3 = 8 • 8 = 64

3^(2+3) = 3^2 • 3^3 = 9 • 27 = 243

Caso haja uma subtração, ao invés de multiplicar as potências, devemos dividir

3^(3-1) = 3^3 : 3^1 = 27 : 3 = 9

5^3 = 5^(4-1) = 5^4 : 5^1 = 625 : 5 = 125

•Expoente decimal

Caso você tenha um expoente decimal, você pode fazer e resolver de várias maneiras, porém vou mostrar a maneira mais fácil na minha opinião: transformando em raiz

Vamos supor que você tenha:

16^0,5

Como podemos resolver isto?

Primeiro temos que transformar o expoente decimal em fração, que esta, equivale a 1/2

Então teremos 16^(1/2)

Como resolver isto? Pela lógica , a metade da multiplicação de 8 , é a mesma coisa de você estar tentando procurar a raiz quadrada do número , então

16^(1/2) = √16 = 4

Outro exemplo:

8^(1/3) = (3)√8 = 2

Veja esta situação:

8^2,5

Para resolver uma potência de expoente decimal maior que 1, deve se decompor primeiro, ficando:

8^(2 + 0,5) = 8^2 • 8^0,5

Substituindo o expoente decimal em fração, temos:

8^2 • 8^(1/2) = 64 • √8 = 64√8

•Expoente composto

Caso você tenha uma potência em parênteses sendo potêncializada por um expoente , você deve multiplicar os expoentes:

2^(2^3)

2 • 3 = 6

2^6 = 64

Outro exemplo

4^(3^2)

4 • 2 = 8

3^8

Introdução à raiz

A raiz é o oposto da potenciação,é representada pelo sinal (√) ,ao invés de indicar quantas vezes você deve multiplicar o mesmo número, ele indica quantas vezes um número deve ser multiplicado para dar o número que está na raiz, por exemplo

√9

Qual número deve ser multiplicado por ele mesmo para dar 9? A resposta é 3

√16

Qual Número deve ser multiplicado por ele mesmo para dar 16? A resposta é 4

E assim por diante

Índice da raiz

Quando a raiz ela está sendo representada somente assim (√) ela terá obrigatoriamente o índice 2, o que é o índice?

Índice funciona como na exponenciação, porém ao contrário, se uma raiz tiver índice 3 ou mais, vamos ver exemplos:

Neste exemplo , a raiz tem o índice 4, pois tem um número 4 na parte traseira superior , que simboliza o valor do índice, se este espaço estiver vazio, representa que o índice é 2,

Uma raiz de índice 4 funciona do mesmo jeito da raiz de índice 2, porém ao invés de ter que achar um número que deva se multiplicar por ele mesmo (ou seja, 2 vezes) para dar o número da raiz , neste caso, você deve achar um número que se multiplique 4 vezes para dar este número da raiz de índice 4

A resposta deste exemplo é 3

Pois 3•3•3•3 (ou 3^4) é igual a 81

Neste exemplo, de índice 3, a resposta é 2

Pois 2•2•2 (ou 2^3) é igual a 8

E se a raiz tiver índice negativo? Como por exemplo, -3, Você terá que descobrir o número que , ao ser elevado a -3, resulte o número da raiz , reveja a regra de como calcular expoentes negativos caso tenha dúvida

Método de achar uma raiz quadrada rapidamente (Veja)

Expoente e raiz numa equação

Em equações, se resolve primeiro a potenciação e a raiz , e depois a multiplicação e divisão , e assim por diante

Mas já que eles são sinais opostos, eles podem seguir a regra de troca de termos da equação, onde que, para se trocar um termo, deve Trocar seu sinal, ou seja, se houver uma potência e você quiser passar esta potência para o outro lado, ela terá que vir em forma de raiz,

Se a potência tiver expoente 2, passará como raiz de índice 2; se a potência tiver expoente 3, passará como raiz de índice 3; se a potência tiver expoente 4, passará como raiz de índice 4

E assim por diante, vamos ver exemplos:

X^2 = 16

X = √16

X = 4

Vamos ver outro , mais complexo:

24 + X^3 = 51

Lembre se, que não pode passar o sinal de uma multiplicação, divisão, potência ou raiz para o outro lado caso não esteja isolado, como se pode ver, possui um 24 somando com a potência , então deve se livrar primeiro deste 24 antes de passar o expoente para o outro lado como forma de raiz

X^3 = 51 - 24

X^3 = 27

X = (3)√27

X = 3

Algumas observações

•Se caso você veja uma divisão ou fração com expoente, por exemplo , 5/3, lembre se que (5/3)^2 é igual a 5/3 • 5/3

Que isso equivale a 25/9

•Estes termos são diferentes:

Veja que 3√27 significa √27 + √27 + √27

E o outro trata se de uma raiz de índice 3

____________

Então é isso, se estiver com alguma dúvida, como sempre, comente abaixo

Obrigado o/

Radiciação é a operação que realizamos quando queremos descobrir qual o número que multiplicado por ele mesmo uma determinada quantidades de vezes dá um valor que conhecemos.

Exemplo: Qual é o número que multiplicado por ele mesmo 3 vezes dá como resultado 125?

Por tentativa podemos descobrir que:

5 x 5 x 5 = 125, ou seja,

Escrevendo na forma de raiz, temos:

Portanto, vimos que o 5 é o número que estamos procurando.

Símbolo da Radiciação

Para indicar a radiciação usamos a seguinte notação:

Sendo,

n é o índice do radical. Indica quantas vezes o número que estamos procurando foi multiplicado por ele mesmo.
X é o radicando. Indica o resultado da multiplicação do número que estamos procurando por ele mesmo.

Exemplos de radiciação:

(Lê-se raiz quadrada de 400)

(Lê-se raiz cúbica de 27)

(Lê-se raiz quinta de 32)

Propriedades da Radiciação

As propriedades da radiciação são muito úteis quando necessitamos simplificar radicais. Confira a seguir.

1ª propriedade:

Já que a radiciação é a operação inversa da potenciação, todo radical pode ser escrito na forma de potência.

Exemplo:

2ª propriedade:

Multiplicando-se ou dividindo-se índice e expoente pelo mesmo número, a raiz não se altera.

Exemplos:

3ª propriedade:

Na multiplicação ou divisão com radiciais de mesmo índice realiza-se a operação com os radicandos e mantém-se o índice do radical.

Exemplos:

4ª propriedade:

A potência da raiz pode ser transformada no expoente do radicando para que a raiz seja encontrada.

Exemplo:

Quando o índice e a potência apresentam o mesmo valor: .

Exemplo:

5ª propriedade:

A raiz de uma outra raiz pode ser calculada mantendo-se o radicando e multiplicando-se os índices.

Exemplo:

Radiciação e Potenciação

A radiciação é a operação matemática inversa da potenciação. Desta forma, podemos encontrar o resultado de uma raiz buscando a potenciação, que tem como resultado a raiz proposta.

Observe:

Note que se o radicando (x) é um número real e o índice (n) da raiz é um número natural, o resultado (a) é a raiz enésima de x se an = x.

Exemplos:

, pois sabemos que 92 = 81

, pois sabemos que 104 = 10 000

, pois sabemos que (–2)3 = –8

Saiba mais lendo o texto Potenciação e Radiciação.

Simplificação de Radicais

Muitas vezes não sabemos de forma direta o resultado da radiciação ou o resultado não é um número inteiro. Neste caso, podemos simplificar o radical.

Para fazer a simplificação devemos seguir os seguintes passos:

1. Fatorar o número em fatores primos.
2. Escrever o número na forma de potência.
3. Colocar a potência encontrada no radical e dividir por um mesmo número o índice do radical e o expoente da potência (propriedade da radiciação).

Exemplo:Calcule

1º passo: transformar o número 243 em fatores primos

2º passo: inserir o resultado, na forma de potência, dentro da raiz

3º passo: simplificar o radical

Para simplificar, devemos dividir o índice e o expoente da potenciação por um mesmo número. Quando isso não for possível, significa que o resultado da raiz não é um número inteiro.

, note que ao dividir o índice por 5 o resultado é igual a 1, desta forma cancelamos o radical.

Assim, .

Veja também: Simplificação de radicais

Racionalização de Denominadores

A racionalização de denominadores consiste em transformar uma fração, que apresenta um número irracional no denominador, em uma fração equivalente com denominador racional.

1º caso – raiz quadrada no denominador

Neste caso, o quociente com o número irracional no denominador foi transformado em um número racional ao utilizarmos o fator racionalizante .

2º caso – raiz com índice maior que 2 no denominador

Neste caso, o quociente com o número irracional no denominador foi transformado em um número racional ao utilizarmos o fator racionalizante , cujo expoente (3) foi obtido pela subtração do índice (5) do radical pelo expoente (2) do radicando.

3º caso – adição ou subtração de radicais no denominador

Neste caso, utilizamos o fator racionalizante para eliminar a radical do denominador, pois .

Operações com Radicais

Soma e Subtração

Para somar ou subtrair devemos identificar se os radicais são semelhantes, ou seja, se apresentam índice e radicando iguais.

1º caso – Radicais semelhantes

Para somar ou subtrair radicais semelhantes, devemos repetir o radical e somar ou subtrair seus coeficientes.

Veja como fazer:

Exemplos:

2º caso – Radicais semelhantes após simplificação

Neste caso, devemos inicialmente simplificar os radicais para se tornarem semelhantes. Depois, faremos como no caso anterior.

Exemplo I:

Portanto, .

Exemplo II:

Portanto, .

3º caso – Radicais não são semelhantes

Calculamos os valores dos radicais e depois efetuamos a soma ou a subtração.

Exemplos:

(valores aproximados, pois a raiz quadrada de 5 e de 2 são números irracionais)

Multiplicação e Divisão

1º caso – Radicais com mesmo índice

Repete a raiz e realiza a operação com os radicandos.

Exemplos:

2º caso – Radicais com índices diferentes

Primeiro, devemos reduzir ao mesmo índice, depois realizar a operação com os radicandos.

Exemplo I:

Portanto, .

Exemplo II:

Portanto, .

Saiba também sobre

• Raiz Quadrada
• Expressões Numéricas
• Exercícios de Potenciação

Exercícios resolvidos sobre radiciação

Questão 1

Calcule os radicais a seguir.

a)

b)

c)

d)

Questão 2

Resolva as operações abaixo utilizando as propriedades da radiciação.

a)

b)

c)

d)

Veja também: Exercícios sobre simplificação de radicais

Questão 3

(Enem/2010) Embora o Índice de Massa Corporal (IMC) seja amplamente utilizado, existem ainda inúmeras restrições teóricas ao uso e às faixas de normalidade preconizadas. O Recíproco do Índice Ponderal (RIP), de acordo com o modelo alométrico, possui uma melhor fundamentação matemática, já que a massa é uma variável de dimensões cúbicas e a altura, uma variável de dimensões lineares. As fórmulas que determinam esses índices são:

ARAUJO, C. G. S.; RICARDO, D. R. Índice de Massa Corporal: Um Questionamento Científico Baseado em Evidências. Arq. Bras. Cardiologia, volume 79, no 1, 2002 (adaptado).

Se uma menina, com 64 kg de massa, apresenta IMC igual a 25 kg/m2 , então ela possui RIP igual a

a) 0,4 cm/kg1/3
b) 2,5 cm/kg1/3
c) 8 cm/kg1/3
d) 20 cm/kg1/3
e) 40 cm/kg1/3

(Enem/2013 - Adaptado) Muitos processos fisiológicos e bioquímicos, tais como batimentos cardíacos e taxa de respiração, apresentam escalas construídas a partir da relação entre superfície e massa (ou volume) do animal. Uma dessas escalas, por exemplo, considera que “o cubo da área S da superfície de um mamífero é proporcional ao quadrado de sua massa M”.

HUGHES-HALLETT, D. et al. Cálculo e aplicações. São Paulo: Edgard Blücher, 1999 (adaptado).

Isso é equivalente a dizer que, para uma constante k > 0, a área S pode ser escrita em função de M por meio da expressão:

a)
b)
c)
d)
e)