Soma dos termos de uma pa exercícios resolvidos

Veja os exercícios de progressão aritmética que elaboramos para você responder e exercitar o aprendizado.

1) Encontre o 15º (décimo quinto) termo da progressão aritmética: (1, 4, 7, 10, 13, 16, …)

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Para encontrar o termo qualquer numa PA, utilizamos a seguinte fórmula:

an = a1 + (n – 1) x r ⇒

a15 = 1 + (15 – 1) x 3 ⇒

a15 = 1 + 14 x 3 ⇒

a15 = 1 + 42 ⇒

a15 = 43

A razão de uma PA pode ser determinada subtraindo um número da sequência pelo seu antecessor.

Portanto, o 15º termo é 43.

2) Calcule a soma dos 15 primeiros termos da PA da primeira questão.

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Pela primeira questão, sabemos que o 15º termo é 43.

A soma dos n termos de uma PA é dada pela fórmula:

Sn = ((a1 + an) . n)/2 ⇒

S15 = ((1 + 43) . 15)/2 ⇒

S15 = (44 . 15)/2 ⇒

S15 = 660/2 ⇒

S15 = 330

Então, a soma dos 15º termos é igual a 330.

3) Determine o termo geral da PA: (1, 6, 11, 16, 21, 26, … ). Calcule também a soma do sexto termo com o oitavo termo.

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Para encontrar o termo geral da PA devemos utilizar a fórmula: an = a1 + (n – 1) . r

Antes de aplicar a fórmula, vamos determinar a razão desta PA. Assim, podemos encontrar a razão fazendo: r = a2 – a1 ⇒ r = 6 – 1 = 5

Agora vamos aplicar a fórmula:

an = a1 + (n – 1) . r ⇒ an = 1 + (n – 1) . 5

Dessa forma, termos que o termo geral da PA dada é: an = 1 + (n – 1) . 5

Para calcular a soma entre o 6º termo e o 8º termo, termos que utilizar a fórmula do termo geral acima para encontrá-los. Assim:

a6 = 1 + (6 – 1) . 5 = 1 + 5 . 5 = 1 + 25 = 26

a8 = 1 + (8 – 1) . 5 = 1 + 7 . 5 = 1 + 35 = 36

Logo, a6 + a8 = 26 + 36 = 62

Portanto, a soma dos termos é igual a 62.

Rafael Asth

Professor de Matemática e Física

A progressão aritmética – PA é uma sequência de valores que apresenta uma diferença constante entre números consecutivos.

A progressão geométrica – PG apresenta números com o mesmo quociente na divisão de dois termos consecutivos.

Enquanto na progressão aritmética os termos são obtidos somando a diferença comum ao antecessor, os termos de uma progressão geométrica são encontrados ao multiplicar a razão pelo último número da sequência, obtendo assim o termo sucessor.

Confira a seguir um resumo sobre os dois tipos de progressões.

Progressão aritmética (PA)

Uma progressão aritmética é uma sequência formada por termos que se diferenciam um do outro por um valor constante, que recebe o nome de razão, calculado por:

Onde,

r é a razão da PA;
a2 é o segundo termo;
a1 é o primeiro termo.

Sendo assim, os termos de uma progressão aritmética podem ser escritos da seguinte forma:

Note que em uma PA de n termos a fórmula do termo geral (an) da sequência é:

an = a1 + (n – 1) r

Alguns casos particulares são: uma PA de 3 termos é representada por (x - r, x, x + r) e uma PA de 5 termos tem seus componentes representados por (x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r).

Tipos de PA

De acordo com o valor da razão, as progressões aritméticas são classificadas em 3 tipos:

1. Constante: quando a razão for igual a zero e os termos da PA são iguais.

Exemplo: PA = (2, 2, 2, 2, 2, ...), onde r = 0

2. Crescente: quando a razão for maior que zero e um termo a partir do segundo é maior que o anterior;

Exemplo: PA = (2, 4, 6, 8, 10, ...), onde r = 2

3. Decrescente: quando a razão for menor que zero e um termo a partir do segundo é menor que o anterior.

Exemplo: PA = (4, 2, 0, - 2, - 4, ...), onde r = - 2

As progressões aritméticas ainda podem ser classificadas em finitas, quando possuem um determinado número de termos, e infinitas, ou seja, com infinitos termos.

Soma dos termos de uma PA

A soma dos termos de uma progressão aritmética é calculada pela fórmula:

Onde, n é o número de termos da sequência, a1 é o primeiro termo e an é o enésimo termo. A fórmula é útil para resolver questões em que é dado o primeiro e o último termo.

Quando um problema apresentar o primeiro termo e a razão da PA, você pode utilizar a fórmula:

Essas duas fórmulas são utilizadas para somar os termos de uma PA finita.

Termo médio da PA

Para determinar o termo médio ou central de uma PA com um número ímpar de termos calculamos a média aritmética com o primeiro e último termo (a1 e an):

Já o termo médio entre três números consecutivos de uma PA corresponde a média aritmética do antecessor e do sucessor.

Dada a PA (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14) determine a razão, o termo médio e a soma dos termos.

1. Razão da PA

2. Termo médio

3. Soma dos termos

Saiba mais sobre a progressão aritmética.

Progressão geométrica (PG)

Uma progressão geométrica é formada quando uma sequência tem um fator multiplicador resultado da divisão de dois termos consecutivos, chamada de razão comum, que é calculada por:

Onde,

q é a razão da PG;
a2 é o segundo termo;
a1 é o primeiro termo.

Uma progressão geométrica de n termos pode ser representada da seguinte forma:

Sendo a1 o primeiro termo, o termo geral da PG é calculado por a1.q(n-1).

Tipos de PG

De acordo com o valor da razão (q), podemos classificar as Progressões Geométricas em 4 tipos:

1. Crescente: com a razão q > 1 e termos positivos ou, 0

Exemplos: PG: (3, 9, 27, 81, ...), onde q = 3.

PG: (-90, -30, -15, -5, ...), onde q = 1/3

2. Decrescente: com a razão q > 1 e termos negativos ou, 0

Exemplo: PG: (-3, -9, -27, -81, ...), onde q = 3

PG: (90, 30, 15, 5, ...), onde q = 1/3

3. Oscilante: a razão é negativa (q

Exemplo: PG: (3, -6, 12, -24, 48, -96, …), onde q = - 2

4. Constante: a razão é sempre igual a 1 e os termos possuem o mesmo valor.

Exemplo: PG: (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, ...), onde q = 1

Soma dos termos de uma PG

A soma dos termos de uma progressão geométrica é calculada pela fórmula:

Sendo a1 o primeiro termo, q a razão comum e n o número de termos.

Se a razão da PG for menor que 1, então utilizaremos a fórmula a seguir para determinar a soma dos termos.

Essas fórmulas são utilizadas para uma PG finita. Caso a soma pedida seja de uma PG infinita com 0

Termo médio da PG

Para determinar o termo médio ou central de uma PG com um número ímpar de termos calculamos a média geométrica com o primeiro e último termo (a1 e an):

Exemplo resolvido

Dada a PG (1, 3, 9, 27 e 81) determine a razão, o termo médio e a soma dos termos.

1. Razão da PG

2. Termo médio

3. Soma dos termos

Saiba mais sobre a progressão geométrica.

Resumo das fórmulas de PA e PG

Progressão aritmética Progressão geométrica Razão Termo geral Termo médio Soma finita Soma infinita

com 0

Saiba mais sobre as sequências numéricas.

Exercícios sobre PA e PG

Questão 1

Qual o 16º termo da sequência que inicia com o número 3 e tem razão da PA igual a 4?

a) 36 b) 52 c) 44

d) 63

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Alternativa correta: d) 63.

Como a razão de uma PA é constante, podemos encontrar o segundo termo da sequência ao somar a razão com o primeiro número.

a2 = a1 + r

a2 = 3 + 4

a2 = 7

Portanto, podemos dizer que essa sequência é formada por (3, 7, 11, 15, 19, 23, …)

O 16º termo pode ser calculado com a fórmula do termo geral.

an = a1 + (n - 1) . r

a16 = 3 + (16 – 1) . 4

a16 = 3 + 15.4

a16 = 3 + 60

a16 = 63

Sendo assim, a resposta da questão é 63.

Qual a razão de uma PA de seis termos, cuja soma dos três primeiros números da sequência é igual a 12 e dos dois últimos é igual a – 34?

a) 7 b) – 6 c) – 5

d) 5

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Alternativa correta: b) – 6.

A fórmula geral dos termos de uma progressão aritmética é a1, (a1 + r), (a1 + 2r), ..., {a1 + (n-1) r}. Portanto, a soma dos três primeiros termos pode ser escritos da seguinte forma:

a1 + (a1 + r) + (a1 + 2r) = 12 3a1 + 3r = 12 3a1 = 12 – 3r a1 = (12 – 3r)/3

a1 = 4 – r

E a soma dos dois últimos termos é:

(a1 + 4r) + (a1 + 5r) = – 34
2a1 + 9r = – 34

Agora, substituímos a1 por 4 – r.

2(4 – r) + 9r = – 34 8 – 2r + 9r = – 34 7r = – 34 – 8 7r = – 42 r = – 42/7

r = – 6

Portanto, a razão da PG é - 6.

Questão 3

Se o terceiro termo de uma PG é 28 e o quarto termo é 56 quais são os 5 primeiros termos dessa progressão geométrica?

a) 6, 12, 28, 56, 104 b) 7, 18, 28, 56, 92 c) 5, 9, 28, 56, 119

d) 7, 14, 28, 56, 112

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Alternativa correta: d) 7, 14, 28, 56, 112

Primeiramente, devemos calcular a razão dessa PG. Para isso, utilizaremos a fórmula:

a4 = a3 . q 56 = 28 . q 56 / 28 = q

q = 2

Agora, calculamos os 5 primeiros termos. Começaremos por a1 utilizando a fórmula do termo geral.

an = a1 . q(n-1) a3 = a1 . q(3-1) 28 = a1 . 22

a1 = 28/ 4 = 7

Os demais termos podem ser calculados multiplicando o termo antecedente pela razão.

a2 = a1.q a2 = 7 . 2

a2 = 14

a5 = a4 . q a5 = 56 . 2

a5 = 112

Portanto, os 5 primeiros termos da PG são:

1º termo: 7 2º termo: 14 3º termo: 28 4º termo: 56

5º termo: 112

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