Dado o conjunto X 1 2 3 4 quantos subconjuntos de X contendo 3 elementos podemos determinar

Um conjunto é estabelecido quando agrupamos elementos com as mesmas características. Esses agrupamentos possuem notação própria, utilizando-se letras maiúsculas para dar nome a eles, e representação específica, em geral por meio de círculos, formando-se o que se conhece como diagrama de Venn, ou listando-se os elementos dos conjuntos.

Leia também: Teoria dos conjuntos: o que estuda e para que serve?

Notação e representação de um conjunto

Quando estudamos conjunto, devemos inicialmente compreender o modo como representamos e denotamos alguns elementos. Em geral, utiliza-se letras maiúsculas para nomear um conjunto.

Podemos representar um mesmo conjunto de diferentes modos. Veja:

Representação do conjunto dos números pares menores que 10.           

Os elementos do conjunto A são os números pares menores que 10. Na representação gráfica, os elementos devem ficar no interior do círculo, essa representação é conhecida por diagrama de Venn-Euler. Podemos representar também o conjunto fazendo uma lista de seus elementos:

A = {0, 2, 4, 6, 8}

Ao representarmos um conjunto na forma de lista, devemos separar os elementos por vírgula ou ponto e vírgula. Podemos representar o conjunto dos pares menores que 10 também assim:

A = { p | p é par menor que 10}

O qual lemos da seguinte forma: “p tal que p é par menor que 10”.

A relação de pertinência mostra se um elemento está dentro ou não de um conjunto, ou seja, se ele pertence ou não pertence a um conjunto. Vamos utilizar os seguintes símbolos para a relação de pertinência.

Assim, para afirmar se um elemento está ou não no conjunto, devemos utilizar a notação anterior. Veja:

Considere o conjunto B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 15}.

Observe que o elemento 5 está dentro do conjunto B e que o elemento 0, por exemplo, não está, assim:

Relação de inclusão

A relação de inclusão mostra-nos se um conjunto está contido ou não dentro de outro. Na relação de inclusão, utilizamos os seguintes símbolos:

Considere os conjuntos:

A = {1, 2, 3, 4, 5}

B = {2, 3}

C = {5, 6, 7}

Observe que o conjunto B está por completo dentro do conjunto A, portanto, o conjunto B está contido no conjunto A.

A ⸦ B

Por outro lado, o conjunto C não está por completo no conjunto A, logo, o conjunto C não está contido no conjunto A.

Para que o conjunto A esteja contido no conjunto B, todos os elementos de A devem estar no conjunto B.

Veja mais: Conjuntos e seus elementos: relações e representações

Subconjuntos

A ideia de subconjunto está ligada à relação de inclusão, dizemos que A é subconjunto de B se, e somente se, todos os elementos de A forem elementos de B, ou seja, se A⸦ B, então A é subconjunto de B.

Considere os conjuntos A = {a, b, c, d, e} e B ={a, b, c, d, e, f, g, h}.

Observe que todos os elementos de A são elementos de B, portanto, A é subconjunto de B, isto é: A ⸦ B.

O contrário já não é verdade, pois nem todo elemento de B é elemento de A, portanto, B não é subconjunto de A.

Conjunto unitário

Um conjunto é dito unitário se ele possuir um único elemento. Veja o exemplo:

O conjunto A é unitário.

A = {7}

Conjunto universo

O conjunto universo é o que contém todos os outros conjuntos. Por exemplo, considere os conjuntos A = {– 1, – 2, 1, 2}, B ={0, 1, 2, 3} e C = {1, –1, 2, –2}, veja que todos eles são compostos por números inteiros, ou seja:

Portanto, o conjunto dos números inteiros é o conjunto universo.

Conjunto complementar

Considere dois conjuntos A e B de forma que A ⸦ B.

O conjunto complementar é formado pela diferença B – A, ou seja, tomamos os elementos de B e retiramos os elementos de A contidos em B. Esse conjunto é chamado complementar de B em relação a A.

Conjuntos das partes

O conjunto das partes de A é formado por todos os possíveis subconjuntos dos elementos do conjunto A. Veja o exemplo:

Determine o conjunto das partes do conjunto A = {1, 2, 3}   

O conjunto das partes é denotado por P (A) = {{1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, {}}.

Para determinar o número de elementos do conjunto das partes de A, basta resolver a potência 2n, em que n é o número de elementos do conjunto A. Do exemplo 6, temos que o número de elementos de A é 3, logo, o número de elementos do conjunto das partes de A será:

23

2 · 2 · 2

8

Observação: O conjunto vazio {} está contido em todo conjunto.

Igualdade de conjuntos

Dois conjuntos serão iguais se, e somente se, apresentarem os mesmos elementos em qualquer que seja a ordem. Desse modo, os conjuntos a seguir são iguais:

A = {0, 1, 3, 4, 5, 6}

B = {6, 5, 4, 3, 2, 1}

C = {6, 6, 5, 4, 5, 4, 3, 6, 2, 1}

Acesse também: Noções importantes para o estudo da teoria dos conjuntos

Operações com conjuntos

Considere dois conjuntos A e B, a união entre eles será um novo conjunto formado por elementos de A ou elementos de B.

Representamos a união com o símbolo U, então A U B é a união entre os conjuntos A e B.

Considere os conjuntos A = {a, b, c, d, e} e B ={c, d, e, f, g}.

Para determinar o conjunto união, basta escrever o conjunto formado por elementos que estão em ambos conjuntos, assim:

A U B = {a, b, c, d, e, f, g}

A interseção de conjuntos é formada por elementos que estão simultaneamente nos conjuntos envolvidos. Assim, considerando dois conjuntos A e B, a interseção é formada por elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B. Denotamos a interseção por ∩.

Considere os conjuntos A = {a, b, c, d, e} e B ={c, d, e, f, g}.   

Para determinar a intersecção entre os dois conjuntos, devemos encontrar os elementos que pertencem a eles.

A ∩ B = {c, d, e}

Exercícios resolvidos

Questão 1 – Considere os conjuntos A = {a, b, c, d, e, f} e B ={d, e, f, g, h, i}. Determine (A – B) U (B – A).

Resolução

Vamos determinar os conjuntos A – B e B – A e, em seguida, realizar a união entre eles.

A – B = {a, b, c, d, e, f} – {d, e, f, g, h, i}

A – B = {a, b, c}

B – A = {d, e, f, g, h, i} – {a, b, c, d, e, f}

B – A = {g, h, i}

Desse modo, (A – B) U (B – A) é:

{a, b, c} U {g, h, i}

{a, b, c, g, h, i}

Questão 2 – Determine o valor de x para que os conjuntos A = {1, 1, 2, 3} e B = {1, x, 3} sejam iguais.

Resolução

Vimos que dois conjuntos são iguais se todos os seus elementos forem iguais independentemente da ordem. Observando os conjuntos A e B, veja que o único elemento que falta no conjunto B para que A = B é o número 2, uma vez que elementos repetidos podem ser considerados como um só. Portanto:

x = 2

Questão 3 – Considere os conjuntos A = {a, b, c, d}, B= {c, d, e, f, g} e C = {b, d, e, g}. Determine os conjuntos:

a) B – A

b) A – C

c) A – B

Resolução

a) Para determinar o conjunto B – A, devemos considerar os elementos do conjunto B e retirar os elementos de A que pertencem ao conjunto B.

B – A = {e, f, g}

b) De maneira análoga, devemos considerar os elementos do conjunto A e retirar os elementos do conjunto C.

A – C = {a, c}

c) Da mesma maneira, determinamos o conjunto A – B.

A – B = {a, b}

Observe que A – B é diferente de B – A. 

Seja A = {a1, a2, a3, a4, ... , an}um conjunto finito com n elementos.Desejamos determinar o n�mero total de subconjuntos (Ns) que podem ser formados a partir do conjunto A.
Ora, existem subconjuntos de A formados por um elemento, por dois elementos, por tr�s elementos, ... , por n elementos e, tamb�m por zero elementos, que corresponde ao conjunto vazio. Exemplos de subconjuntos poss�veis de A:

{a1}, {a2}, ... , {an} � com um elemento.

Da An�lise Combinat�ria poderemos escrever:

N�mero de subconjuntos com n elementos: Cn,n

Ns = Cn,0 + Cn,1 + Cn,2 + Cn,3 + ... + Cn,n  

Para o c�lculo do n�mero Ns acima, o uso da f�rmula seria muito trabalhoso, principalmente para valores elevados de n.

Vamos contornar esta dificuldade, utilizando o Princ�pio Fundamental da Contagem, visto na An�lise Combinat�ria:

A , onde i pode assumir valores de 1 a n, existem duas possibilidades: ele poder� pertencer ou n�o pertencer a um subconjunto qualquer de A, n�o existindo outra hip�tese.
Assim, pelo Princ�pio Fundamental da Contagem � PFC o n�mero total de possibilidades (que neste caso � igual ao n�mero total de subconjuntos de A) ser� dado por:
Ns = 2.2.2.2.2.2. ... .2 = 2n (um produto com n fatores iguais). Logo,

Ns = 2n
onde n � o n�mero de elementos do conjunto A.

Ns = 25 = 32 subconjuntos. 2 - Resolva a equa��o: 

Cx,0 + Cx,1 + Cx,2 + ... + Cx,x = 128

x = 7.

Exerc�cios propostos:

Resposta: 210 = 1024 subconjuntos.

C10,0 + C10,1 + C10,2 + ... + C10,10 .

Paulo Marques, 02 de junho de 2002 � Feira de Santana � BA.