Determine a média a mediana e a moda para cada um dos conjuntos de dados abaixo

Moda, mediana e média são três medidas de posição, ou seja, com elas temos o posicionamento dos elementos dentro de um rol numérico. Essas medidas são utilizadas pela estatística, que é a parte da matemática que nos permite coletar dados com base em métodos específicos, tendo em vista conferir-lhes uma interpretação.

Leia também: Frequência relativa: como calcular?

Média

A média é dividida em dois casos: média aritmética e média ponderada, que nada mais é do que a média aritmética de elementos repetidos.

Tipos de média 

Considere o rol (x1, x2, x3, ... xn). A média aritmética (͞x) do seus n elementos é dada por:

͞x = x1 + x2 + x3 + ... +xn
                  n         

Imagine agora um rol em que o elemento x1 aparece p vezes e o elemento x2 aparece k vezes, e assim por diante, até chegarmos ao último elemento do rol xn que aparece t vezes.

A média ponderada é a soma do produto das repetições, que chamamos de peso, pelos elementos do rol e tudo isso dividido pelo somatório dos pesos. Assim:

͞x = p · x1  + k · x2  + ... + t · xn 
              p + k +...+ t       

Moda

Chamamos de moda o elemento que possui maior frequência no rol, isto é, que aparece mais vezes nele.

Mediana

Chamamos de mediana o elemento que está no centro do rol, ou seja, o elemento que o divide ao meio. Caso o rol tenha um número par de elementos, a mediana ocorrerá pela média aritmética dos dois elementos centrais. 

Veja mais: Medidas de dispersão: amplitude e desvio

Exercícios

Questão 1 - O dono de uma creche realizou um levantamento das idades de seus alunos, encontrando os seguintes anos: (2, 2, 2, 3, 3, 5, 5, 6, 7, 8). Determine a média, moda e mediana dessa sequência.

Solução

Antes de calcularmos a média, perceba que existem vários elementos do rol repetidos, então podemos usar a ideia de média ponderada (a média aritmética dá no mesmo resultado).

͞x  = 3 ·2 + 2 ·3  + 2 ·5  + 6 +7+8
             3 + 2 + 2+1 +1 +1      

͞x = 43
      10

x = 4,3

Assim, a idade média dos alunos é de 4,3 anos.

A idade que mais aparece é a de 2 anos, ou seja, ela é a que tem maior frequência, assim a moda é 2 anos.

Para calcularmos a mediana, perceba que o número de elementos do rol é par, logo, devemos pegar os dois elementos centrais e calcular a média aritmética entre eles.

Mediana = 3 + 5 = 4 anos.
                   2                 

Questão 2 - (Uece 2010) A média aritmética entre os divisores primos e positivos do número 2310 é:

a) 5,6

b) 6

c) 6,3

d) 6,7

Solução    

Realizando a decomposição em fatores primos do número 2310, obtemos:

2310 = 2 · 3 · 5 · 7 ·11

Assim a média aritmética dos divisores primos de 2310 é:

͞x = 2 + 3 + 5 + 7 +11
                5          

͞x = 28 = 5,6
      5        

R: Alternativa a

Média, moda e mediana são as três principais medidas de tendências centrais estudadas na estatística. Quando há um conjunto de dados numéricos, é comum buscarmos um número que representa os dados desse conjunto, por isso utilizamos a média, a moda e a mediana, valores que auxiliam na compreensão do comportamento do conjunto e na tomada de decisões após a análise desses valores.

A moda de um conjunto é o valor que mais se repetiu no conjunto. Já a mediana é o valor central de um conjunto quando colocamos os valores em ordem. Por fim, a média é estabelecida quando somamos todos os valores do conjunto e dividimos o resultado pela quantidade de valores.  A média, a moda e a mediana são temas recorrentes no Enem, tendo eles constado em todas as provas dos últimos anos.

Leia também: Definições básicas de estatística — quais são elas?

Resumo sobre média, moda e mediana

• A média, a moda e a mediana são conhecidas como medidas de tendências centrais.
• Utilizamos a média, a moda e a mediana para representar os dados de um conjunto por um único valor.
• A moda é o valor que mais se repete em um conjunto.
• A mediana é o valor central de um conjunto quando colocamos seus dados em ordem.
• A média é calculada quando somamos todos os termos de um conjunto e dividimos o resultado pelo número de elementos desse conjunto.
• A média, a moda e a mediana são temas recorrentes no Enem.

As medidas centrais, média, moda e mediana, são temas recorrentes na prova do Enem e estiveram presentes em todas as provas nos últimos anos. A fim de entender o que você precisa saber para responder questões sobre média, moda e mediana no Enem, primeiramente vamos nos ater à habilidade envolvendo o tema. Assim, analisemos o item H27 da área 7 previsto na lista de competências de matemática do Enem:

Analisando essa habilidade, é possível inferir que as questões envolvendo as medidas centrais no Enem normalmente vêm acompanhadas de uma tabela ou de um gráfico, o que pode facilitar a resolução da questão.

Saiba mais: Análise combinatória no Enem — outro tema recorrente

O que são média, moda e mediana?

A média, a moda e a mediana são conhecidas como medidas de tendências centrais. Uma medida central é utilizada para representar um conjunto de dados por um único valor, o que auxilia a tomada de decisões em determinadas situações.

No nosso cotidiano, o uso dessas medidas é comum. É a partir da média entre as notas bimestrais de um estudante, por exemplo, que uma instituição decide sobre a sua aprovação ou reprovação no final do ano.

Outro exemplo disso se dá quando olhamos ao nosso redor e dizemos que determinada cor de veículo está em alta, pois a maioria dos carros possuem tal cor. Isso faz com que os fabricantes determinem com mais precisão a quantidade de veículos de cada cor a ser fabricada.

A utilização da mediana é mais comum quando há grandes distorções no conjunto, ou seja, quando há valores que são muito maiores ou muito menores que os demais valores do conjunto. Vejamos, a seguir, como calcular cada uma das medidas centrais.

Existem vários tipos de média, entretanto, as médias mais comuns são:

→ Média aritmética simples

Para calcular a média aritmética simples, é preciso realizar:

• a soma de todos os elementos do conjunto;
• a divisão desse conjunto, após a soma, pela quantidade de valores.

\(\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}\)

\(\bar{x}\) → média aritmética
x1, x2, ... xn → valores do conjunto
n → quantidade de elementos

Exemplo:

Após a aplicação de uma prova, um professor resolveu analisar o número de acertos dos estudantes da turma fazendo uma lista com a quantidade de questões que cada um dos alunos acertou:

{10, 8, 15, 10, 12, 13, 6, 8, 14, 11, 15, 10}

Qual foi a média de acertos por aluno?

Resolução:

Nesse conjunto, há 12 valores. Logo, realizaremos a soma desses valores e dividiremos o resultado por 12:

\(\bar{x}=\frac{10+8+15+10+12+13+8+6+14+11+15+10}{12}\)

\(\bar{x}=\frac{132}{12}\)

\(\bar{x}=11\)

A média de acertos é, portanto, de 11 questões por aluno.

Veja também: Média geométrica — a média aplicada em dados que se comportam como uma progressão geométrica

→ Média aritmética ponderada

A média ponderada ocorre quando se atribui peso para os valores do conjunto. A utilização de média ponderada é comum em notas escolares, pois, dependendo do critério adotado, algumas notas possuem peso maior que as outras, o que causa um impacto maior na média final.

Para calcular a média ponderada, é necessário:

• calcular o produto de cada valor por seu peso;
• calcular, após isso, a soma entre esses produtos;
• dividir essa soma pela soma dos pesos.

\(\bar{x}=\frac{x_1\cdot p_1+x_2\cdot p_2+\ldots+x_n\cdot p_n}{p_1+p_2+\ldots+p_n}\)

p1, p2, ... pn → pesos

x1, x2, ... xn → valores do conjunto

Exemplo:

Em uma determinada escola, os estudantes são avaliados com os seguintes critérios:

Prova objetiva → peso 3

Simulado → peso 2

Avaliação subjetiva → peso 5

O aluno Arnaldo obteve as seguintes notas:

Calcule a média final desse estudante.

Resolução:

Sendo \({\bar{x}}_A \) a média do aluno, temos:

\({\bar{x}}_A=\frac{10\cdot3+9\cdot2+8\cdot5}{3+2+5}\)

\({\bar{x}}_A=\frac{30+18+40}{10}\)

\({\bar{x}}_A=\frac{88}{10}\)

\({\bar{x}}_A=8,8\)

Assim, a média final do estudante Arnaldo foi 8,8.

→ Videoaula sobre média aritmética e média ponderada no Enem

A moda de um determinado conjunto de dados é o resultado que mais se repete no conjunto, ou seja, o que possui maior frequência absoluta. É importante destacar que em um conjunto pode haver mais de uma moda. Para calcular a moda, é necessário apenas analisar qual dado do conjunto mais se repete.

Exemplo 1:

O treinador de um time de futebol anotou o número de gols marcados pela sua equipe durante as últimas partidas de um campeonato e obteve o seguinte conjunto:

{0, 2, 3, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 2, 1, 3, 1, 0, 4, 1, 2, 1}

Qual é a moda desse conjunto?

Resolução:

Analisando esse conjunto, podemos verificar que a sua moda é 1.

{0, 2, 3, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 2, 1, 3, 1, 0, 4, 1, 2, 1}

Por mais que outros resultados se repitam bastante, como 0 (ou seja, nenhum gol marcado), aquele que mais se repete é 1, o que faz com que ele seja a única moda do conjunto. Então, representamos a moda por:

Mo = {1}

Exemplo 2: 

Para presentear suas funcionárias com pares de sapatos, o dono de uma empresa anotou a numeração calçada por cada uma delas e obteve a seguinte lista:

{37, 35, 36, 34, 37, 35, 38, 35, 37, 33, 39, 37, 37, 36, 36, 38, 34, 39, 36}

Quais são os valores que mais se repetem nesse conjunto?

Resolução:

Analisando esse conjunto, encontraremos os valores que mais se repetem:

{37, 35, 36, 34, 37, 35, 38, 35, 37, 33, 39, 37, 35, 36, 36, 38, 34, 39, 36}

Note que tanto 37 quanto 36 aparecem 4 vezes, sendo os valores mais frequentes. Dessa forma, o conjunto possui duas modas:

Mo = {36, 37}

→ Videoaula sobre moda no Enem

A mediana de um conjunto de dados estatísticos é o valor que ocupa a posição central desses dados quando os colocamos em ordem crescente ou decrescente. Colocar os dados em ordem é uma ação conhecida também como criar um rol. O modo de encontrar a mediana de um conjunto pode ser dividido em dois casos:

→ Quantidade ímpar de elementos

A mediana de um conjunto com a quantidade ímpar de elementos é a mais simples de ser encontrada. Para isso, é necessário:

• colocar os dados em ordem;
• encontrar o valor que ocupa o meio desse conjunto.

Exemplo:

A lista a seguir contém o peso de alguns funcionários de uma determinada empresa:

{65, 92, 80, 74, 105, 85, 68, 85, 79}

Note que nesse conjunto há 9 elementos, então existe uma quantidade ímpar de valores no conjunto. Qual é a mediana do conjunto?

Resolução:

Primeiramente, colocaremos esses dados em ordem crescente:

65, 68, 74, 79, 80, 85, 85, 92, 105

Agora, analisando o conjunto, basta encontrar o valor que está posicionado no meio do conjunto. Como há 9 valores, o termo central será o 5º, que no caso é 80 kg.

65, 68, 74, 79, 80, 85, 85, 92, 105

Logo, dizemos que:

Me = 80

→ Quantidade par de elementos

A mediana de um conjunto com a quantidade par de elementos é a média entre os dois valores centrais. Assim, colocaremos os dados em ordem e encontraremos os dois valores que estão posicionados no meio do conjunto. Nesse caso, calcularemos a média entre esses dois valores.

Exemplo:

Qual é a mediana do conjunto a seguir?

{5, 1, 8, 6, 4, 1, 2, 10}

Resolução:

De início, colocaremos os dados em ordem crescente:

{1, 1, 2, 3, 5, 6, 8, 10}

Note que há 8 elementos nesse conjunto, sendo 3 e 5 os termos centrais:

{1, 1, 2, 3, 5, 6, 8, 10}

Calculando a média entre eles, temos:

\(M_e=\frac{3+5}{2}=\frac{8}{2}=4\)

A mediana desse conjunto é, portanto, 4.

→ Videoaula sobre mediana no Enem

Exercícios resolvidos sobre média, moda e mediana

Questão 1

(Enem 2021) Uma grande rede de supermercados adota um sistema de avaliação dos faturamentos de suas filiais considerando a média de faturamento mensal em milhão. A matriz da rede paga uma comissão para os representantes dos supermercados que atingirem uma média de faturamento mensal (M), conforme apresentado no quadro.

Um supermercado da rede obteve os faturamentos num dado ano, conforme apresentado no quadro.

Nas condições apresentadas, os representantes desse supermercado avaliam que receberão, no ano seguinte, a comissão de tipo

A) I.

B) II.

C) III.

D) IV.

E) V.

Resolução:

Alternativa B

Inicialmente, calcularemos a média aritmética ponderada:

\(M=\frac{3,5\cdot3+2,5\cdot2+5\cdot2+3\cdot4+7,5\cdot1}{3+2+2+4+1}\)

\(M=\frac{10,5+5+10+12+7,5}{12}\)

\(M=\frac{45}{12}\)

\(M=3,75\)

A média está entre 2 e 4, então a comissão será do tipo II.

Questão 2

(Enem 2021) O quadro apresenta o número de terremotos de magnitude maior ou igual a 7, na escala Richter, ocorridos em nosso planeta nos anos de 2000 a 2011.

Um pesquisador acredita que a mediana representa bem o número anual típico de terremotos em um período.  Segundo esse pesquisador, o número anual típico de terremotos de magnitude maior ou igual a 7 é

A) 11.

B) 15.

C) 15,5.

D) 15,7.

E) 17,5.

Resolução:

Alternativa C

Para encontrar a mediana, primeiramente colocaremos esses dados em ordem:

11, 11, 12, 13, 15, 15, 16, 16, 17, 18, 20, 24

Agora, encontraremos os dois termos centrais do conjunto:

11, 11, 12, 13, 15, 15, 16, 16, 17, 18, 20, 24

Calculando a média entre eles, temos:

\(M_e=\frac{15+16}{2}=\frac{31}{2}=15,5\)