Determine o valor de x sabendo que r s na representação a seguir

Teorema de Tales afirma que um feixe de retas paralelas determina, em duas transversais quaisquer, segmentos proporcionais. Desse modo, se temos duas retas paralelas “cortadas” por duas transversais, os segmentos formados por essa intersecção são proporcionais.

Leia também: Duas retas paralelas cortadas por um transversal

Representação e fórmula

Para melhor entendermos o enunciado do teorema, representaremos graficamente o feixe de retas paralelas interceptadas por retas transversais.

Observe que as retas r, s e t são paralelas e denotadas por r//s//t, as retas p e q são as transversais, os segmentos AB, BC, DE e EF foram determinados pelas intersecções das retas, e que, pelo teorema de Tales, esses segmentos são proporcionais, ou seja, as razões entre eles são iguais.

Em consequência das propriedades das proporções, podemos escrever o resultado do teorema de Tales destas maneiras:

Na figura a seguir, r//s//t, determine as medidas dos segmentos.

Aplicando o teorema de Tales, temos:

Para determinar a medida dos segmentos, devemos substituir os valores de x.

Teorema de Tales nos triângulos

O teorema de Tales aplicado nos triângulos é mais conhecido por teorema da bissetriz interna. Esse afirma que:

“Em todo triângulo, a bissetriz de qualquer ângulo interno divide o lado oposto a ele em duas partes proporcionais, em relação a seus lados adjacentes.”

Observe que o segmento AD é a bissetriz do triângulo ABC, visto que ele divide o ângulo BÂC em duas partes iguais. De acordo com o teorema, o segmento de reta AD divide o lado oposto, ou seja, o lado BC, em dois segmentos proporcionais aos lados adjacentes, isto é, os lados AB e AC são proporcionais aos lados BD e DC nessa ordem, e, portanto, podemos escrever:

Considere o triângulo seguinte e determine o valor de x, sabendo que o segmento AD é a bissetriz relativa ao lado BC.

Saiba mais: Intersecção de retas concorrentes

Exercícios resolvidos

Questão 1 – (Enem) A planta de determinado bairro de uma cidade apresentou o desenho a seguir. O responsável pelo departamento de obras do município constatou a ausência de algumas medidas nessa planta, as quais ele representou no projeto por x e y.

Com base nos dados do projeto, esse responsável pôde calcular corretamente os respectivos valores de x e y:

a) 35 m e 56 m

b) 25 m e 40 m

c) 35 m e 70 m

d) 56 m e 70 m

e) 56 m e 84 m

Solução

Observando a imagem, temos que o teorema de Tales pode ser aplicado na planta do bairro. Os segmentos que ligam as ruas A e B são paralelos, logo, temos:

Portanto, os valores de x e y são, respectivamente, 35 m e 56 m.

R: alternativa a

Questão 2 – Em um triângulo ABC, o perímetro é 54 cm, BS é a bissetriz, AS = 8 cm, e SC = 10 cm. Determine a medida do lado AB.

Solução

Inicialmente vamos ilustrar o triângulo descrito no problema, nomeando x e y os lados dos quais não conhecemos a medida.

Como foi dado que o perímetro do triângulo ABC é 54 cm, temos que a soma de todos os lados é igual a 54 cm.

x + y + 18 = 54

x + y = 54 -18

x + y = 36

Por outro lado, podemos aplicar o teorema da bissetriz interna no triângulo ABC, tendo que:

Isolando o valor de x na primeira equação, temos que x = 36 – y, e substituindo esse valor na segunda equação, temos que:

10x = 8y

10 · (36 – y) = 8y

360 – 10y = 8y

360 = 8y + 10y

18y = 360

y = 20

Substituindo o valor de y em qualquer uma das equações, temos:

x = 36 – y

x = 36 – 20

x = 16

Portanto, o lado AB mede 16 cm.

O teorema de Tales indica que quando um feixe de retas paralelas são cortadas por duas retas transversais, formam segmentos proporcionais.

Aproveite a lista de exercícios resolvidos e comentados para tirar todas as suas dúvidas sobre esse importante teorema da geometria.

Questão 1

Sabendo que as retas r, s e t são paralelas, determine o valor de x na imagem a seguir.

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Resposta correta: 3,2.

Pelo teorema de Tales, temos que:

Utilizando a propriedade fundamental das proporções e multiplicando meios pelos extremos, encontramos o valor de x.

Portanto, o valor de x é 3,2.

Questão 2

João decidiu dividir um terreno, conforme a imagem abaixo.

Com base nos dados apresentados, os valores de a, b e c são, respectivamente:

a) 10 m, 15 m e 20 m b) 20 m, 35 m e 45 m c) 30 m, 45 m e 50 m

d) 15 m, 25 m e 35 m

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Resposta correta: b) 20 m, 35 m e 45 m.

Como sabemos o comprimento de a + b + c, podemos fazer as seguintes relações para encontrar o valor de a:

Utilizando a propriedade fundamental das proporções e multiplicando meios pelos extremos, encontramos o valor de a.

Para encontrar o valor de b realizamos o mesmo raciocínio.

E, por fim, calculamos o valor de c.

Portanto, os valores de a, b e c são, respectivamente, 20 m, 35 m e 45 m.

Questão 3

Existem 5 bolas dispostas em uma mesa de bilhar. A reta formada entre as bolas 1 e 2 é paralela à reta formada entre as bolas 4 e 5.

De acordo com as medidas dispostas na imagem responda: qual a distância entre as bolas 1 e 3?

a) 20 cm b) 30 cm c) 40 cm

d) 50 cm

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Resposta correta: c) 40 cm.

Substituindo os valores apresentados na imagem no teorema de Tales, temos:

Portanto, a bola 1 está a 40 cm de distância da bola 3.

Questão 4

Um triângulo ADE foi projetado em cima do triângulo ABC, conforme a imagem a seguir.

Com base nos dados apresentados encontre o valor de x.

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Resposta correta: x = 15.

Substituindo no teorema de Tales os valores dados na imagem, temos:

Portanto, o valor de x é 15.

Veja também: Teorema de Tales

Questões de Concurso Resolvidas

Questão 5

(Cefet/MG - 2017) A figura a seguir é um esquema representativo de um eclipse lunar em que a Lua, a Terra e o Sol estão representados pelas circunferências de centros C1, C2 e C3, respectivamente, que se encontram alinhados. Considera-se que a distância entre os centros da Terra e do Sol é 400 vezes maior que a distância entre os centros da Terra e da Lua e que a distância do ponto T na superfície da Terra ao ponto S na superfície do Sol, como representados na figura, é de 150 milhões de quilômetros.

Sabendo-se que os segmentos de reta são paralelos, a distância do ponto L, representado na superfície da Lua, ao ponto T, na superfície da Terra, é igual a

a) 375.000 Km. b) 400.000 Km. c) 37.500.000 Km.

d) 40.000.000 Km.

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Alternativa correta: a) 375.000 Km.

A situação pode ser representada conforme a figura abaixo:

Como os segmentos de reta são paralelos, pelo teorema de Tales temos a seguinte proporção:

Alternativa: a) 375.000 Km.

Questão 6

(Epcar - 2018) Observe a figura a seguir:

Nela, as retas a, b, c e d são paralelas e são interceptadas pelas retas transversais r, s e t.

Assim, as medidas dos segmentos, em cm, são:

A soma , em cm, é dada por um número divisível por

a) 3 b) 4 c) 7

d) 11

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Alternativa correta: a) 3

Observando a imagem, identificamos que:

Para encontrar esses valores, vamos separar na figura os segmentos proporcionais e aplicar o teorema de Tales.

Iniciaremos calculando o valor de y. Para tal, assinalamos os valores conhecidos, conforme indicado abaixo:

Observando a figura, notamos que:

Aplicando o teorema de Tales:

Para encontrar o valor de m, vamos utilizar a seguinte proporção:

Agora que conhecemos o valor do m, podemos encontrar o valor de z usando a seguinte proporção:

Somando os valores encontrados, temos:

27 é um número divisível por 3, pois 3.9 = 27.

Alternativa: a) 3

(Cefet/MG - 2014) Considere a figura em que

O valor de x é

a) 3. b) 4. c) 5.

d) 6.

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Alternativa correta: b) 4

Para encontrar o valor do x, iremos aplicar o teorema de Tales. O cálculo será feito utilizando a seguinte proporção:

Alternativa: b) 4

Questão 8

(Colégio Pedro II - 2012) Para melhorar a qualidade do solo, aumentando a produtividade do milho e da soja, em uma fazenda é feito o rodízio entre essas culturas e a área destinada ao pasto. Com essa finalidade, a área produtiva da fazenda foi dividida em três partes conforme a figura.

Considere que

• os pontos A, B, C e D estão alinhados;
• os pontos H, G, F e E estão alinhados;
• os segmentos são, dois a dois, paralelos entre si;
• AB = 500 m, BC = 600 m, CD = 700 m e HE = 1980 m.

Nessas condições, a medida do segmento é, em metros,

a) 665. b) 660. c) 655. d) 650.

e) 645.

Questão 9

(Enem - 2009) A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metros. A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é

a) 1,16 metros. b) 3,0 metros. c) 5,4 metros. d) 5,6 metros.

e) 7,04 metros.

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Alternativa correta: d) 5,6 metros

Podemos representar a situação proposta no problema conforme a figura abaixo:

Note que as duas alturas indicadas formam um ângulo de 90º com o solo, desta forma, essas duas retas são paralelas.

Considerando o solo e a rampa duas retas transversais a essas retas paralelas, podemos aplicar o teorema de Tales.

Para isso, usaremos a seguinte proporção:

Como queremos descobrir quanto ainda falta para a pessoa caminhar, devemos fazer:

x = 8,8 - 3,2
x = 5,6 m

Alternativa: d) 5,6 metros

Questão 10

(PUC/Campinas - 2007) Na figura a seguir, as retas r, s e t são paralelas entre si

Se AC = x, BC = 8, DE = 15, EF = x - 10, GI = y e HI = 10, então x + y é um número

a) maior que 47 b) entre 41 e 46 c) menor que 43 d) quadrado perfeito

e) cubo perfeito

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Alternativa correta: b) entre 41 e 46

Primeiro, vamos encontrar o valor do x usando os seguintes segmentos:

Pela figura, identificamos que o segmento AB é igual a x - 8, desta forma, aplicando o teorema de Tales, temos a seguinte proporção:

Como o valor do x representa a medida de um segmento, vamos desconsiderar o valor negativo.

Podemos agora calcular o valor do y. Substituindo o valor encontrado para x, temos a seguinte figura:

Assim, a soma de x e y será igual a:

x + y = 20 + 25 = 45

Portanto, a resposta é um número entre 43 e 46.

Alternativa: b) entre 41 e 46

Questão 11

(Cefet/PR - 2006) O jardineiro Sr. Artur fez um canteiro triangular composto por folhagens e flores onde as divisões são todas paralelas à base.

Sendo assim, as medidas x e y dos canteiros de flores são, respectivamente:

a) 30 cm e 50 cm. b) 28 cm e 56 cm. c) 50 cm e 30 cm. d) 56 cm e 28 cm.

e) 40 cm e 20 cm.

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