Fração geratriz é aquela que quando dividimos seu numerador pelo denominador, o resultado será uma dízima periódica (número decimal periódico). Os números decimais periódicos apresentam um ou mais algarismos que se repetem infinitamente. Esse algarismo ou algarismos que se repetem representam o período do número. Quando o parte decimal é composta apenas pelo período, a dizima é classificada como simples. Já quando além do período existir, na parte decimal, algarismos que não se repetem, a dízima será composta. Exemplos  Cálculo da fração geratrizEncontrar a fração geratriz de uma dízima periódica muitas vezes é necessário para que possamos efetuar cálculos, por exemplo, em expressões numéricas. Para descobrir a fração geratriz de uma dízima periódica simples, podemos seguir os seguintes passos:
Saiba mais sobre as Expressões Numéricas. Exemplos1) Encontre a fração geratriz do número 0,8888... SoluçãoPrimeiro vamos escrever a equação do 1º grau, igualando o número a x: x = 0,8888... Observe que o período é composto por um único algarismo (8). Assim sendo, temos que "andar" apenas uma casa para ter o período na frente da vírgula. Assim, multiplicaremos a equação por 10. 10 x = 10 . 0,8888... Agora vamos diminuir as duas equações, ou seja: Isolando o x, encontramos a fração geratriz: Veja também: O que é Fração? 2) Transforme o número decimal 0,454545... em fração. SoluçãoIremos seguir os mesmos passos do exemplo anterior. A única diferença é que agora o período é composto de 2 algarismos (45). Neste caso, teremos que "andar" duas casas, e então iremos multiplicar por 100. x = 0,454545... 100 x = 100 . 0,454545... 100 x = 45,454545... Subtraindo as equações: Isolando o x, descobrimos que a fração geratriz é igual a Assim, temos: Quando a dízima periódica for composta, além dos passos indicados para a simples, devemos também multiplicar a primeira equação por um número múltiplo de 10, que a transforme em uma dízima simples. Acompanhe o exemplo abaixo: Qual a fração geratriz de 2,3616161...? Veja também: Tipos de Frações SoluçãoNeste exemplo, a dízima periódica é composta, pois o algarismo 3, que aparece depois da vírgula, não se repete. Escrevendo a equação inicial, temos: x = 2,3616161... Como a dízima é composta, devemos primeiro multiplicar essa equação por 10, pois com isso, passamos o 3 para a frente da vírgula (algarismo que não se repete). 10 x = 23,616161... Agora vamos escrever a outra equação multiplicando ambos os lados da equação inicial por 1000, pois assim, conseguimos passar o período para a frente da vírgula. 1000 x = 2361,616161... Em seguida, faremos a subtração dessas duas equações e isolaremos o x para encontrar a fração geratriz. Veja também: Números Racionais Método PráticoPara encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica, podemos também utilizar um método prático. Quando a dízima for simples, o numerador será igual a parte inteira com o período menos a parte inteira, e no denominador, a quantidades de "noves" igual ao número de algarismo do período. Exemplos1) Determine a fração geratriz da dízima periódica 0,222... SoluçãoPara encontrar a fração geratriz, vamos usar o método prático conforme esquematizado abaixo: 2) Qual a fração geratriz da dízima periódica 34,131313...? SoluçãoAcompanhe o esquema abaixo para encontrar a fração geratriz. Quando a dízima for composta, o numerador será igual a parte que não se repete com o período, menos a parte que não se repete. ExemploEncontre a fração geratriz da dízima periódica 6,3777... Como a dízima periódica é composta, encontraremos a fração geratriz utilizando o seguinte esquema: Exercícios Resolvidos1) IFRS - 2017 Um menino estava na aula de matemática e a professora propôs uma atividade com fichas. Cada ficha tinha um número e a regra era colocar as fichas em ordem crescente. Observe a resolução do menino e determine V para verdadeiro e F para falso a cada sentença abaixo. I - A resolução do menino, representada nas fichas acima, está correta. II - Os números 1,333 … e – 0,8222... são dízimas periódicas. III - O número decimal 1,333 … não pode ser escrito na forma . IV - Adicionando apenas os valores positivos das fichas, obtemos . Assinale a alternativa correta. a) F – V – F – V b) F – F – F – F c) F – V – V – V d) V – F – V – F e) V – V –V – V
Analisando cada item temos: I - Falso. O aluno deveria ter colocado as fichas em ordem crescente. Contudo, colocou os números negativos em ordem decrescente, pois -0.8222... é maior que -1,23 e -1,55. II - Verdadeiro. Os números que apresentam algarismos que se repetem infinitamente são chamados de dízimas periódicas. No caso dos números indicados, o 3 e o 2 respectivamente, se repetem infinitamente. III - Falso. O número 1,333... representa 1 + 0,333..., a fração geratriz dessa dízima é: Assim, podemos escrever o número decimal na forma de número misto IV - Verdadeiro. Somando os números positivos, temos: Alternativa: a) F – V – F – V 2) Colégio Naval - 2013 Qual é o valor da expressão a) 0,3 e) -1
Primeiro, vamos transformar o expoente 0,333... em uma fração. Como é uma dízima periódica simples, cujo período apresenta apenas um algarismo, a fração geratriz será igual a . Simplificando a fração e efetuando as demais operações, temos: Alternativa: c) 1 Pratique mais Exercícios sobre fração geratriz e dízima periódica. Para saber mais, veja também: |
Encontre a fração geratriz de cada dízima periódica 0 2
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