Obtenha a lei da função afim y ax b cujo gráfico passa pelos pontos a 4 7 eb 1 13

Consideremos x e y duas variáveis, sendo uma dependente da outra, isto é, para cada valor atribuído a x corresponde um valor para y. Definimos essa dependência como função, nesse caso, y está em função de x. O conjunto de valores conferidos a x deve ser chamado de domínio da função e os valores de y são a imagem da função. Toda função é definida por uma lei de formação, no caso de uma função do 1º grau a lei de formação será a seguinte: y = ax + b, onde a e b são números reais e a ≠ 0. Esse tipo de função deve ser dos Reais para os Reais. A representação gráfica de uma função do 1º grau é uma reta. Analisando a lei de formação y = ax + b, notamos a dependência entre x e y, e identificamos dois números: a e b. Eles são os coeficientes da função, o valor de a indica se a função é crescente ou decrescente e o valor de b indica o ponto de intersecção da função com o eixo y no plano cartesiano. Observe:

Função crescente                                                            Função decrescente

Função crescente: à medida que os valores de x aumentam, os valores correspondentes em y também aumentam.

Função decrescente: à medida que os valores de x aumentam, os valores correspondentes de y diminuem.

y = – 6x – 1, a = – 6 e b = – 1 

y = – 7x + 7, a = –7 e b = 7

Raiz ou zero de uma função do 1º grau

y = 4x + 2

y = – 2x + 10

A reta representada pela função y = – 2x + 10 intersecta o eixo x no seguinte valor: 5 

y = – 7x + 7 y = 0 –7x + 7 = 0 –7x = –7 x = 1

A reta representada pela função y = –7x + 7 intersecta o eixo x no seguinte valor: 1

y = 3x y = 0 3x = 0 x = 0

A reta representada pela função y = 3x intersecta o eixo x no seguinte valor: 0

Um dos primeiros assuntos que todo estudante aprende em Matemática no Ensino Médio é a função afim. E, como ela é a base para aprender os vários outros tipos de funções que vêm depois, é muito importante que você entenda bem esse tópico. Isso inclui entender a teoria e praticar com exercícios de fixação e problemas mais elaborados.

Se você nunca estudou a função afim, ou quer dar uma revisada nos conceitos, prepare-se. Nesse post, vamos retomar tudo o que você precisa saber sobre o assunto!

Função afim: definição

A função afim é toda função polinomial de primeiro grau, isto é, na qual o maior expoente é 1. Pode ser que você conheça a função afim simplesmente como função de primeiro grau.

Lei de formação da função afim

A lei de formação da função afim é expressa na seguinte fórmula:

Raiz da função afim

A raiz da função afim é o ponto em que ela atravessa o eixo x, isto é, o ponto em que y = 0. Isso quer dizer que, para descobrir a raiz de uma função afim, basta substituir o y por 0 na fórmula. Ao fazer isso, você tem:

f(x) = ax + b

0 = ax + b

ax = -b

x = -b/a

Dessa maneira, a raiz da função afim é o ponto -b/a no eixo x. As funções de 1º grau têm apenas uma raiz.

Gráfico da função afim

O gráfico da função afim é uma reta crescente ou decrescente. A reta somente não pode ser perpendicular aos eixos x ou y.

Como encontrar dois pontos no gráfico

Como o gráfico da função afim é uma reta, você só precisa de dois pontos para traçá-lo. O primeiro é o ponto da raiz, que você já viu. O segundo é o ponto em que a reta atravessa o eixo y, isto é, em que o x = 0. Nesse ponto, y = b.

f(x) = ax + b

y = a . 0 + b

y = b

Portanto, os dois pontos que você precisa para traçar a reta do gráfico são (-b/a, 0) e (0, b).

Coeficientes da função afim

A função afim tem dois coeficientes: angular e linear.

O coeficiente angular corresponde, na função, ao a. No gráfico, é a tangente do ângulo α (alfa), formado pela intersecção entre a reta da função e o eixo x. Enquanto isso, o coeficiente linear corresponde, na função, ao b. No gráfico, é o ponto de interseção entre a reta da função e o eixo y.

Função afim crescente e decrescente

Você pode determinar a direção da reta do gráfico da função a partir do coeficiente angular, que também é chamado de taxa de crescimento. Quando o coeficiente é maior do que zero, temos uma função afim crescente; quando é menor do que zero, temos uma função afim decrescente.

Tipos de função afim

Existem alguns tipos específicos de função afim, que recebem nomes diferentes. Estamos falando da função linear, identidade e constante. Vamos ver quais são as características de cada uma?

Linear

A função afim é linear quando b = 0, sendo que a ≠ 0. Nesses casos, o gráfico necessariamente passa pelo ponto (0,0). A fórmula da função afim constante também pode ser expressa assim:

Identidade

A função afim é identidade quando a = 1 e b = 0. Nesses casos, o gráfico necessariamente passa pelo ponto (0,0), e o ângulo α é de 45º. A fórmula da função afim identidade também pode ser expressa assim:

Constante

A função afim é constante quando a = 0. Nesses casos, o gráfico é paralelo ao eixo x. A fórmula da função afim constante também pode ser expressa assim:

Exercícios de função afim (com resolução)

Agora que você já conferiu os principais conceitos relacionados a função afim, teste seus conhecimentos com os exercícios abaixo!

Exercício 1

Se f(x) = 3x + 2, qual o valor de x para que f(x) = 5?

a. 0

b. 1

c. 2

d. 3

e. 4

Resposta: b

f(x) = 3x + 2

5 = 3x + 2

3x = 5 – 2

3x = 3

x = 1

Exercício 2

Uma função é dada por f(x) = 3x – 6. A raiz dessa função é:

a. 0

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b. 1

c. 2

d. 3

e. 4

Resposta: c

f(x) = 3x – 6

0 = 3x – 6

3x = 6

x = 2

Exercício 3

Considere a função f(x) = -2x + 1. Os valores de f(0), f(2), f(-1) e f(5), são, respectivamente:

a. 1, -3, 3, -9

b. -1, 3, -3, -9

c. 1, 5, 3, 11

d. -1, -5, -3, -11

e. 1, 2, 1, 5

Resposta: a

f(x) = -2x + 1

Se x = 0,

f(x) = -2 . 0 + 1

f(x) = 0 + 1

f(x) = 1

Se x = 2,

f(x) = -2 . 2 + 1

f(x) = -4 + 1

f(x) = -3

Se x = -1,

f(x) = -2 . -1 + 1

f(x) = 2 + 1

f(x) = 3

Se x = 5,

f(x) = -2 . 5 + 1

f(x) = -10 + 1

f(x) = -9

Exercício 4

Uma função do 1º grau é dada por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(1) = 5 e f(-3) = -7. Essa função é:

a. f(x) = x + 5

b. f(x) = -3x -7

c. f(x) = -3x + 2

d. f(x) = 3x + 2

e. f(x) = x + 4

Resposta: d

f(1) = 5

a . 1 + b = 5

a + b = 5

f(-3) = -7

a . -3 + b = -7

-3a + b = -7

Montando o sistema

a + b = 5

3a – b = 7 (invertendo -3a + b = -7)

4a = 12

a = 3

Se a + b = 5, e a = 3, então:

3 + b = 5

b = 5 – 3 = 2

Assim, a função é:

f(x) = 3x + 2

Depois desses exercícios, você já está pronto para encarar os problemas mais elaborados sobre função afim, como os que são propostos no Enem e nos vestibulares.

Lembre-se de que os conceitos que você viu aqui serão úteis para entender melhor as funções quadráticas (funções de 2º grau) e outros assuntos que estão relacionados. Por isso, não vale partir para o assunto seguinte sem, antes, tirar todas as suas dúvidas sobre função afim!

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