Qual é a lei de formação dessa função que relaciona o custo total

A função custo está relacionada aos gastos efetuados para, produção, ou aquisição, de alguma mercadoria ou produto.

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Função Receita
Função Lucro
Função Demanda
Função Oferta
Ponto de equilíbrio
Funções Marginais
Exercícios Resolvidos
Exercícios Propostos

Alguns exemplos de gastos:

aluguel, transporte, salário, matéria prima, impostos, etc.

O custo possui duas partes: custo fixo e custo variável.

Custo fixo "CF"

Não depende da quantidade produzida.

Custo variável "CV(x)"

Depende diretamente da quantidade produzida. Pode-se representar a função custo pela expressão:

C(x) = CF + CV(x)

Custo médio

O custo médio "CM(x)" é o quociente entre:

o custo total "C(x)" e a quantidade "x" produzida. Ele representa o custo de cada unidade produzida. O custo médio é dado por:

CM(x) = C(x) / x =

Função Receita

A função receita se relaciona com o faturamento bruto que, é arrecadado na venda de determinado produto. A receita é dada por:

R(x) = p ⋅ x

Onde: "p" é o preço do produto, e,

"x" é o número de unidades vendidas.

Função Lucro

A função lucro se relaciona com o lucro líquido das empresas, e é dada pela diferença entre a função receita e a função custo.

L(x) = R(x) – C(x)

Exemplo: O custo para produção de uma determinada mercadoria tem, um custo fixo mensal de R$ 1440,00 que inclui: conta de energia, conta de água, salários e impostos. E um custo de R$ 50,00 por peça produzida.

Sendo R$ 140,00 o preço de venda da unidade do produto.

Escreva as funções: custo, receita, e, lucro.

"x" é o número de peças produzidas. Função Custo total mensal: C(x) = CF + CV(x) C(x) = 1440 + 50 x Função Receita total mensal: R(x) = 140 x Função Lucro total mensal: L(x) = 140 x – (1440 + 50 x) L(x) = 140 x – 1440 – 50 x

L(x) = 90 x – 1440

Função Demanda

A função que associa um preço "p" à procura de mercado,
em um período determinado é dita função demanda. Ela está relacionada ao ponto de vista do consumidor. Pode ser representada por D(p). Sabe-se que quando o preço aumenta, a procura diminui, e vice-versa.

A função demanda é uma função decrescente.

Função Oferta

A função oferta relaciona o preço "p", e, a quantidade ofertada, do ponto de vista do produtor. Pode ser representada por O(p). A função oferta, ao contrário da função demanada,

é uma função crescente.

Ponto de equilíbrio

O ponto de equilíbrio é o preço "p" que torna,
a quantidade demadada igual a ofertada de um bem.

Funções Marginais

A função marginal de uma função f(x) é: a derivada da função f(x), ou seja, f ′(x). Assim, tem-se que: a função custo marginal é a derivada da função custo, a função receita marginal é a derivada da função receita,

a função lucro marginal é a derivada da função lucro.

O conceito de função marginal avalia o efeito causado em f(x) por uma pequena variação de x.

Função Custo Marginal

A função custo marginal é a variação do custo total,

decorrente da variação na quantidade produzida, em, uma unidade.

Cmg(x) = C(x + 1) – C(x) ≅ C′(x).

Exemplo:

O custo de fabricação de "x" unidades de um produto é:

C(x) = x2 + 5 x + 10, em reais.

Atualmente o nível de produção é de 20 unidades. Calcule, aproximadamente, de quanto varia o custo, se forem produzidas 21 unidades.

C(20) = 202 + 5 ⋅ 20 + 10

C(20) = 400 + 100 + 10 C(20) = 510

C(21) = 212 + 5 ⋅ 21 + 10

C(21) = 441 + 105 + 10 C(21) = 556

Cmg(x) = C(21) – C(20)

Cmg(x) = 556 – 510 = 46 É mais prático encontrar a derivada, da qual, se pode obter um valor aproximado.

C(x) = x2 + 5 x + 10

C′(x) = 2 x + 5 C′(20) = 2 ⋅ 20 + 5 C′(20) = 40 + 5 C′(20) = 45 Portanto, o custo marginal para a produção de,

20 unidades é de aproximadamente R$ 45,00.

Função Receita Marginal

A função receita marginal é a variação do custo total,

decorrente da variação na quantidade vendida, em, uma unidade.

Rmg(x) ≅ R′(x)

Exemplo:

Seja R(x) = x2 + 200 x + 20 a receita total da venda, de "x" unidades de um produto. Calcule a receita marginal para x = 20. R′(x) = 2 x + 200 R′(20) = 2 ⋅ 20 + 200 R′(20) = 240 Portanto, a receita marginal para a produção de,

20 unidades é de aproximadamente R$ 240,00.

Exercícios Resolvidos

R01 — O custo total de fabricação de um produto, é composto por um custo fixo de R$ 2 000,00 e, um custo variável de R$ 40,00 por unidade produzida. Expresse o custo total C(x) em função de "x" unidades,

e obtenha o custo para a fabricação de 200 unidades.

O custo total é dado por: C(x) = 2000 + 40 x O custo para fabricar 200 unidades: C(200) = 2000 + 40 ⋅ 200 C(200) = 2000 + 8000 C(200) = 10000 Assim:

para fabricar 200 unidades serão gastos R$ 10 000,00.

R02 — O custo total de fabricação de um produto, é composto por um custo fixo de R$ 4 580,00 e, um custo variável de R$ 80,00 por unidade produzida. a) Expresse C(x) em função de "x" de unidades produzidas.

b) Que nível de produção gera um custo de R$ 9 060,00?

a) C(x) = 4580 + 80 x b) Como já se sabe o custo total, tem-se: 9060 = 4580 + 80 x 9060 – 4580 = 80 x 4480 = 80 x

= x

56 = x

Tendo um custo de R$ 9 060,00 são produzidas 56 unidades.

R03 — Um fabricante produz fitas de vídeo virgem, a um custo de R$ 2,00 a unidade. As fitas vêm sendo vendidas a R$ 5,00 a unidade, por esse preço são vendidas 4000 fitas por mês. O fabricante pretende aumentar o preço da fita, e, calcula que para cada R$ 1,00 de aumento no preço, menos 400 fitas serão vendidas por mês.

a) Expresse o lucro mensal do fabricante,

em função do preço de venda.

b) Para que preço o lucro é maximo?

a) Seja "x" o valor do aumento. Aumentando R$ 1,00; o preço será de R$ 6,00 (5 + 1) e, o número de fitas vendidas será: 4000 – 400 = 3600

Aumentando R$ 2,00; o preço será de R$ 7,00 (5 + 2) e,

o número de fitas vendidas será de: 4000 – 800 = 3200 (800 = 400 ⋅ 2)

Aumentando R$ 3,00; o preço será de R$ 8,00 (5 + 3) e,

o número de fitas vendidas será de: 4000 – 1200 = 2800 (1200 = 400 ⋅ 3) Assim, aumentando "x" reais, o preço será de "5 + x" e, o número de fitas vendidas será de: 4000 – 400 ⋅ x Assim, o custo que é o produto do: número de peças vendidas pelo valor de custo unitário, é: C(x) = (4000 – 400 x) ⋅ 2 C(x) = 8000 – 800 x A receita, que é o produto do: número de peças vendidas pelo preço de venda, é: R(x) = (4000 – 400 x) ⋅ (5 + x)

R(x) = 20000 + 4000 x – 2000 x – 400 x2

R(x) = 20000 + 2000 x – 400 x2 O lucro, que é a diferença entre a receita e o custo, é:

L(x) = 20000 + 2000 x – 400 x2 – (8000 – 800 x)

L(x) = 20000 + 2000 x – 400 x2 – 8000 + 800 x
L(x) = – 400 x2 + 2800 x + 12000 b) A função tem ponto de máximo em seu vértice, onde: o lucro máximo é o vértice de y, e, o valor cujo lucro é máximo é o vértice de x.

xV = –

xV =

xV = 3,5
Então, o aumento é de R$ 3,50 para se ter o lucro máximo.

Portanto, deve-se vender a R$ 8,50 (5,00 + 3,50).

R04 — O valor V (em R$), de um equipamento sofre, uma depreciação linear com o tempo (em "x" em anos), de acordo com o gráfico abaixo: a) Qual o valor do equipamento daqui a 3 anos? b) Qual a depreciação total daqui a 3 anos? c) Daqui a quanto tempo o valor do equipamento será zero?

Observando o gráfico nota-se que é uma função linear e que: V(0) = 500 e V(9) = 200 Assim:

V(x) = a x + b

V(0) = a ⋅ 0 + b 500 = 0 + b 500 = b Assim:

V(x) = a x + 500

V(9) = a ⋅ 9 + 500

200 = a ⋅ 9 + 500
200 – 500 = 9 ⋅ a
– 300 = 9 a
–

= a
–

= a

como, V(x) = a ⋅ x + 500, então:

V(x) = –

⋅ x + 500 a) O valor do equipamento daqui a três anos se obtem, substituindo o "x" por 3.

V(3) = –

⋅ 3 + 500

V(3) = – 100 + 500 V(3) = 400 b) A depreciação daqui a 3 anos se obtem pela diferença: V(inicial) – V(final). V(0) – V(3) V(0) – V(3) = 500 – 400 V(0) – V(3) = 100

A depreciação total daqui a três anos será de R$ 100,00.

c) Como, V(x) = a ⋅ x + 500, então:

0 = –

⋅ x + 500 (multiplicando tudo por 3) 0 = – 100 x + 1500 100 x = 1500

x =

x = 15

Daqui a 15 anos o valor do equipamento será zero.

R05 — Um produtor pode fabricar fogões de cozinha ao custo de: R$ 140 cada. Os números de venda indicam que, se os fogões, forem vendidos a "x" reais cada, aproximadamente: (850 – x) serão vendidos por mês.

a) Expresse o lucro mensal do produtor,

em função do preço de venda "x".

b) Qual o preço ótimo de venda, ou seja,

o preço para o qual o lucro é máximo?

c) Qual é o lucro máximo?

O custo total para se fabricar "850 – x" fogões, ao custo unitário de R$ 140,00, é:

C(x) = 140 ⋅ (850 – x)

C(x) = 119000 – 140 x A receita total na venda de "850 – x" fogões com, preço de venda unitário a "x" reais, é:

R(x) = x ⋅ (850 – x)

R(x) = 850 x – x2 a) O lucro, que é a diferença entre a receita e o custo, é:

L(x) = 850 x – x2 – (119000 – 140 x)

L(x) = 850 x – x2 – 119000 + 140 x
L(x) = – x2 + 990 x – 119000 b) O preço para o qual o lucro é máximo é igual, ao vértice de "x" da função, mas também é o valor, para o qual a derivada é nula. Pelo vértice de x, tem-se:

xV = –

xV =

xV = 495 Pela derivada, tem-se:

L(x) = – x2 + 990 x – 119000

L′(x) = – 2 x + 990 0 = – 2 x + 990 2 x = 990

x =

x = 495 Assim, o preço ótimo de venda é de R$ 495,00. c) O lucro máximo é obtido pelo vértice de "y" da função, ou, substituindo o vértice de "x" na função.

L(x) = – x2 + 990 x – 119000

L(495) = – 4952 + 990 ⋅ 495 – 119000 L(495) = – 245025 + 490050 – 119000 L(495) = 490050 – 364025 L(495) = 126025

Assim, o lucro máximo é de R$ 126 025,00.

R06 — Um grupo de estudantes constrói, durante um verão, caiaques em uma garagem adaptada. O aluguel da garagem é de R$ 1 500,00 para o verão inteiro, e, o material necessário para construir um caiaque custa R$ 125,00. Sabendo que os caiaques são vendidos por R$ 275,00 cada. a) Escreva as equações da receita e do custo em função do, número "x" de caiaques produzidos. b) Encontre a equação do lucro (em função de x).

c) Quantos caiaques precisam vender para não ter prejuízo?

a) Custo total para "x" caiaques produzidos ao preço unitário de: R$ 125,00 com custo fixo de R$ 1 500,00 é dado por:

C(x) = 125 x + 1500

A receita total com a venda de "x" caiaques ao preço de venda de: R$ 275,00, é dada por:

R(x) = 275 x

b) Dessa forma o lucro será de:

L(x) = 275 x – (125 x + 1500)

L(x) = 275 x – 125 x – 1500 L(x) = 150 x – 1500 c) Para não ter prejuízo, o lucro mínimo é zero, assim:

L(x) = 150 x – 1500

0 = 150 x – 1500 150 x = 1500

x =

x = 10 Assim, para não se ter prejuízo é necessário vender, pelo menos,

10 caiaques, isto é, 10, ou mais, caiaques.

R07 — As funções de oferta e demanda para um certo produto são: O(p) = 3 p + 240 e D(p) = – 2 p + 480, respectivamente. Determine: a) o preço de equilíbrio, em reais. b) o número correspondente de unidades vendidas.

c) desenhe as curvas de oferta e demanda no mesmo gráfico.

a) O preço de equilíbrio ocorre quando a oferta é igual a demanda.
O(p) = D(p) 3 p + 240 = – 2 p + 480 3 p + 2 p = 480 – 240 5 p = 240

p =

p = 48 Assim, o preço de equilíbrio é de R$ 48,00. b) Para se obter o número correspondente de unidades vendidas, tanto faz usar a função oferta como a função demanda. O(p) = 3 p + 240 O(48) = 3 ⋅ 48 + 240 O(48) = 144 + 240 O(48) = 384 D(p) = – 2 p + 480 D(48) = – 2 ⋅ 48 + 480 D(48) = – 96 + 480 D(48) = 384 Assim: no ponto de equilíbrio são vendidas 384 unidades do produto. c) O gráfico das funções em um mesmo plano:

R08 — Um buffet estima que se tem "x" clientes em uma semana, então as despesas serão de C(x) = 550 x + 6 500 dólares, e, o faturamento será, aproximadamente, R(x) = 1200 x dólares. a) Expresse o lucro semanal em função do número "x" de clientes. b) Determine o lucro que a empresa obterá, em uma semana,

quando tiver 24 clientes.

a) L(x) = R(x) – C(x) L(x) = 1200 x – (550 x + 6500) L(x) = 1200 x – 550 x – 6500 L(x) = 650 x – 6500 b) L(x) = 650 x – 6500 L(24) = 650 ⋅ 24 – 6500 L(24) = 15600 – 6500 L(24) = 9100

O lucro da empresa para 24 clientes é de 9 100,00 dólares.

R09 — Um produtor pode fazer estantes ao custo de 20 dólares cada. Os números de venda indicam que se, as estantes, forem vendidas a, "x" dólares cada, aproximadamente 120 – x serão vendidas por mês. a) Encontre as funções custo total, C(x), e, receita, R(x) em função do preço de venda "x". b) Expresse o lucro mensal do produtor em função do preço de venda. c) Qual é o lucro do produtor se o preço de venda for de 110 dólares?

d) Qual o preço de venda que gera um lucro de 4 560 dólares?

a) O custo total para fabricar 120 – x estantes à 20 doláres cada: C(x) = 20 ⋅ (120 – x) C(x) = 240 – 20 x A receita total na venda de 120 – x estantes ao preço de venda de, "x" dólares cada, é de: R(x) = x ⋅ (120 – x)

R(x) = 120 x – x2

b) O lucro, que é a diferença entre a receita e o custo, é:

L(x) = 120 x – x2 – (240 – 20 x)

L(x) = 120 x – x2 – 240 + 20 x
L(x) = – x2 + 140 x – 240 c) O lucro para o preço de venda ser de 110 dólares.

L(x) = – x2 + 140 x – 240

L(110) = – 1102 + 140 ⋅ 110 – 240 L(110) = – 12100 + 15400 – 240 L(110) = 15400 – 12340 L(110) = 3060 Assim, o lucro será de 3 060,00 doláres. d) O preço de venda para o lucro de 4 560 dólares, é:

L(x) = – x2 + 140 x – 240

4560 = – x2 + 140 x – 240
4560 + x2 – 140 x + 240 = 0
x2 – 140 x + 4800 = 0

∆ = (– 140)2 – 4 ⋅ 1 ⋅ 4800

∆ = 19600 – 19200 ∆ = 400

x =

x′ =

x′ = 80

x′′ =

x′′ = 60

Assim, vendendo à 60 ou 80 doláres o lucro é 4 560 dólares.

R10 — O custo total de fabricação de um produto é composto por: um custo fixo de R$ 2 460,00 e um custo variável de R$ 52,40, por unidade produzida. a) Expresse o custo total C(x) em função de "x" unidades produzidas. b) Encontre o custo adicional se o nível de produção for elevado de: 32 para 44 unidades. c) Qual o nível de produção que gera um custo de R$ 8 957,60?

d) Qual o custo médio quando o nível de produção é 80 unidades?

a) O custo total para "x" unidades produzidas é:
C(x) = 52,4 x + 2460 b) O custo para elevar de 32 para 44 unidades é a diferença entre: C(44) e C(32)

C(32) = 52,4 ⋅ 32 + 2460

C(32) = 1676,8 + 2460 C(32) = 4136,8 C(44) = 52,4 ⋅ 44 + 2460 C(44) = 2305,6 + 2460 C(44) = 4765,6 C(44) – C(32) = 4765,6 – 4136,8 C(44) – C(32) = 628,8 O custo adicional para elevar de 32 para 44 unidades é R$ 628,80. c) Se o custo for de R$ 8 957,60, tem-se:

8957,6 = 52,4 x + 2460

8957,6 – 2460 = 52,4 x 6497,6 = 52,4 x

= x

124 = x Para o custo ser R$ 8 957,60 é necessário produzir 124 unidades. d) O custo médio para 80 unidaes produzidas.

CM(x) =

C(x) = 52,4 x + 2460 C(80) = 52,4 ⋅ 80 + 2460 C(80) = 4192 + 2460 C(80) = 6652

CM(80) =

CM(80) = 83,15

O custo médio para se produzir 80 unidades é de R$ 83,15.

R11 — Se C(x) for o custo total da fabricação de "x" pesos de papel,
onde C(x) = 200 + 50/x + x2/5, obtenha: a) a função custo marginal; b) o custo marginal quando x = 10;

c) o custo real da fabricação do 11º peso de papel.

a) A função custo marginal é a derivada da função custo, assim:
C(x) = 200 +

C(x) = 200 + 50 ⋅

⋅ x2
C′(x) = 0 + 50 ⋅ (–

) +

⋅ 2 x
C′(x) = –

b) C′(x) = –

C′(10) = –

⋅ 10
C′(10) = –

C′(10) = –

+ 4
C′(10) =

C′(10) =

O custo marginal para x = 10 é de R$ 3,50. Este valor serve para calcular o custo estimado do 11º peso de papel.

c) C(x) = 200 + 50 ⋅

C(11) = 200 + 50 ⋅

⋅ 112
C(11) = 200 +

⋅ 121
C(11) = 200 +

C(11) =

C(11) = 228,7454545. . .

C(10) = 200 + 50 ⋅

⋅ x2

C(10) = 200 + 50 ⋅

⋅ 102
C(10) = 200 +

⋅ 100 C(10) = 200 + 5 + 20 C(10) = 225

Cmg = 228,75 – 225

Cmg = 3,75 O custo real da fabricação do 11º peso de papel,

é de aproximadamente R$ 3,75.

R12 — Se R(x) for o rendimento total recebido na venda de, "x" aparelhos de televisão, onde:

R(x) = 600 x – (1/20) x3, obtenha:

a) a função receita marginal; b) a receita marginal quando x = 20;

c) a receita real da venda da 21ª televisão.

a) A função receita marginal é a derivada da função receita.
R(x) = 600 x –

x3
R′(x) = 600 –

⋅ 3 x2
R′(x) = 600 –

⋅ x2 b) A receita marginal para x = 20.

R′(x) = 600 –

R′(20) = 600 –

⋅ 202
R′(20) = 600 –

⋅ 400
R′(20) = 600 –

R′(20) = 600 – 60 R′(20) = 540 A receita marginal quando x = 20 é de $ 540,00. c) A receita real para a venda da 21ª televisão.

R(x) = 600 x –

R(21) = 600 ⋅ 21 –

⋅ 213
R(x) = 12600 –

⋅ 9261 R(x) = 12600 – 463,05 R(x) = 12136,95

A receita real para a venda da 21ª televisão é $ 12 136,95.

Exercícios Propostos

P01 — O custo total de fabricação de um produto é composto por: um custo fixo de R$ 2000,00 e um custo variável de R$ 80,00, por unidade produzida. a) Expresse o custo total C(x) em função do número "x", de unidades produzidas.

b) Qual o custo para produzir 100 unidades?

P02 — Uma fábrica de bicicletas possui um custo fixo de R$ 5000,00, mais um custo variável de R$ 100,00 por bicicleta produzida. O preço de venda de cada bicicleta é igual a R$ 150,00. Determine a função lucro e o número de bicicletas a serem vendidas,

para que o lucro seja igual a R$ 20 000,00.

P03 — Um fabricante vende um certo produto por R$ 80,00 a unidade. O custo total é composto por um custo fixo de R$ 4 500,00, e, um custo de produção de R$ 50,00 por unidade.

Quantas unidades o fabricante precisa vender para não ter prejuízo?

P04 — Para produzir um objeto, uma firma gasta R$ 1,50 por unidade. Além disso, há uma despesa fixa de R$ 6 000,00, independente da quantidade produzida. O preço da venda é de R$ 3,50 por unidade. Qual é o número mínimo de unidades, a partir do qual,

a firma começa a ter lucro superior a R$ 5 000,00?

P05 — Para produzir um objeto, uma firma gasta R$ 1,20 por unidade, e há uma despesa fixa de R$ 4 000,00. O preço da venda é de R$ 2,00 por unidade. a) Qual o lucro para produzir 500 objetos?

b) Qual mínimo de unidades para que a firma comece a ter lucro?

P06 — O lucro de um fabricante de um certo produto em função, do preço de venda "x" é dado pela função:

L(x) = – 400 x2 + 6800 x – 12000.

a) Para que preço de venda o lucro é máximo?

b) Qual é o lucro máximo?

P07 — O lucro de uma loja obedece a função: L(x) = 0,25 x – 120 dólares na venda "x" unidades. a) Qual o nível de vendas que irá gerar um lucro de 40 dólares? b) Quantas unidades devem ser vendidas para elevar,

o lucro de 60 para 80 dólares?

P08 — O lucro de uma loja obedece a função: L(x) = 0,25 x – 120 dólares na venda x unidades. Qual o nível de vendas que irá gerar um lucro,

superior a 60 e inferior a 90 dólares?

P09 — As funções oferta e demanda para certo produto são: O(p) = 6 p + 74 e D(p) = – 2 p + 234, respectivamente. Onde p é o preço de mercado do produto. a) Determine o preço de equilíbrio.

b) Qual o número de unidades vendidas no ponto de equilíbrio?

P10 — Um equipamento de informática é comprado por R$ 14000,00. Após 10 anos seu valor estimado é de R$ 2500,00. Admitindo depreciação linear: a) Qual a equação do valor daqui a x anos?

b) Qual a depreciação total daqui a 4 anos?

P11 — As funções de oferta e demanda de um certo produto em função, do preço de venda p são, respectivamente, O(p) = 3,5 p – 480 e D(p) = – 1,5 p + 340.

Encontre o preço de equilíbrio e a quantidade de unidades vendidas.

P12 — Um equipamento sofre depreciação exponencial de tal forma que:
seu valor daqui a "t" anos é dado por V(t) = 6500 ⋅ (1/3)t. a) Qual o seu valor hoje?

b) Qual o seu valor daqui a 3 anos?

P13 — Suponha que um fabricante de brinquedos tem um custo fixo de: R$ 3540,00 o qual tem que ser pago, independente da quantidade, de brinquedos produzidos. Somado ao custo fixo, existem custos variáveis de R$ 2,50 por brinquedo. a) Qual a equação do custo para a produção de "x" brinquedos.

b) Encontre o custo para se produzir 2642 brinquedos.

P14 — Como os avanços na tecnologia resultam na produção, de calculadoras cada vez mais potentes e compactas. O preço das calculadoras atualmente no mercado diminui. Suponha que "x" meses a partir de agora, o preço de um certo modelo seja: P(x) = 56 + 40 / (x + 1) a) Qual será o preço daqui a 4 meses?

b) Quando o preço será de R$ 60,00?

P15 — Determine o preço de equilíbrio e o número correspondente de, unidades postas à venda e compradas se a função de oferta de certo produto é:

S(x) = x2 + 3 x – 70 e a função de demanda D(x) = 410 – x.

P16 — Uma companhia de TV a CABO estima que com "x" milhares de assinaturas, o faturamento e o custo mensais são:

R(x) = 32 x – 0,2 x2 e C(x) = 200 + 12 x.

a) Encontre a receita, o custo e o lucro para x = 4,5. b) Encontre a equação do lucro para x milhares de assinaturas.

P17 — A receita e o custo de uma empresa que produz "x" unidades de, determinado bem são dados, respectivamente, pelas equações:

R(x) = 6000 x – x2 e C(x) = x2 – 2000 x + 6400.

Nessas condições: a) Determine o nível de produção para que o lucro seja máximo.

b) Ache o lucro máximo correspondente a este nível.

P18 — Em uma fábrica, o custo de produção de "n" unidades de,
uma mercadoria é C(n) = n2 + n + 900 reais. Num dia típico são fabricadas: n(t) = 25 t unidades durante "t" horas de trabalho. a) Expresse o custo de produção em função de t.

b) Quanto tempo é necessário para que o custo chegue a R$ 11000,00.

P19 — Um fabricante pode produzir gravadores por, um custo de R$ 40,00 a unidade. Estima-se que se os gravadores forem vendidos a "x" reais a unidade, os consumidores comprarão 10 – x gravadores por mês. Expresse o lucro mensal do fabricante em função do preço,

faça um esboço gráfico da função para estimar o preço ótimo de venda.

P20 — Uma sorveteria que vende sorvetes de iogurte obtém um lucro: L(x) = 0,25 x – 80 dólares quando vende x taças de iogurte por dia. a) Qual o nível de vendas que irá gerar um lucro de 32 dólares? b) Quantas taças de sorvetes devem ser vendidas para elevar, o lucro de 32 para 36 dólares?

c) Faça o esboço do gráfico da função lucro.

P21 — Suponha que o custo total para fabricar "q" unidades de, um certo produto seja:

C(q) = 4 q2 – 48 q + 520.

Em que nível de produção o custo unitário é mínimo?

Qual o custo mínimo?

P22 — Um fabricante pode produzir calçados ao custo de R$ 20,00 o par. Estima-se que, se cada par for vendido por x reais, o fabricante venderá por mês 80 – x pares de sapatos. Assim, o lucro mensal do fabricante é uma função do preço de venda.

Qual deve ser o preço de venda, de modo que o lucro mensal seja máximo?

P23 — A função L(x) = – 2 x2 + 48 x – 240 representa, o lucro, de uma empresa quando são produzidas x unidades de uma mercadoria.

Qual a taxa de variação (instantânea) na produção de 9 unidades?

P24 — Considere a função custo C(x) = 0,01 x3 – 0,5 x2 + 300 x + 100.
Determinar o custo marginal para x = 10.

P25 — Dada a função receita R(x) = – 2 x2 + 1000 x,
determine a receita marginal para x = 50.

P26 — Suponha que o custo total para fabricar x unidades de um produto seja:
C(x) = 100 + 10 x + (1/100) x2, obtenha: a) o custo médio para a fabricação de 40 unidades.

b) o custo marginal para a fabricação de 40 unidades.

P27 — Suponha que a receita total na venda de x unidades de um produto seja:
R(x) = – 2 x2 + 1000 x. Calcule: a) a receita média na venda de 40 unidades.

b) a receita marginal na venda de 40 unidades.