Teorema do valor médio exercícios resolvidos

Para que podermos aplicar o teorema do valor médio precisamos satisfazer duas condições, elas são:

A função deve ser contínua em um intervalo [ a , b ]: tópico estudado em limites no tema continuidade (confere no site), a função não pode ter “buracos” em sua reta, um exemplo de função contínua é :

E exemplos de funções discontínuas são:

A função deve ser diferenciável/derivável em (a,b): tema estudado no tópico de diferenciabilidade no site, porém um breve resumo, a função não é derivável quando apresenta bico em seu gráfico, como, por exemplo:

Ou quando apresenta inflexão vertical ou ponto de tangência vertical, como, por exemplo:

O teorema nos dá como resultado a inclinação média no intervalo solicitado, calculando sua reta secante entre os dois pontos.

Descobrimos a reta secante fazendo usando a fórmula:

Segundo o teorema, dentro dessa reta há um valor “C” que sua derivada terá o mesmo valor que a inclinação da reta secante, isso nos da a fórmula:

Tudo isso por ser visto no gráfico abaixo:

Para calcular o teorema seguiremos a ordem de verificar se as duas condições são satisfeitas e depois aplique a fórmula encontrando o x = c.

Farei um exemplo abaixo como demonstração:

f(x) = x2 – 2x → [0,3] , como a função é polinomial as duas condições são satisfeitas.

Então aplicaremos o teorema :

Primeiro precisamos descobrir f(a) e f(b), respectivamente 0 e 3, então:

f(a) →f(0) = 02 – 2.0=0

f(b) →f(3) = 32 – 2.3=3

Depois descobrimos a derivada da função, ou seja, f’(x):

f'(x) = x2 – 2x → f’(x) = 2x – 2

Podemos então fazer as substituições:

E finalmente podemos substituir o x na função derivada que achamos:

f’(x) = 2x – 2 → substituindo x por c para teremos que chegar a “m”, então:

2c – 2 = 1

C = 3/2 → este é o valor médio.

Abaixo deixo uma vídeo aula sobre o tema com conteúdo bem didático:

Deixo abaixo um exercício resolvido e comentado sobre o tema:

Deixo aqui também um exercícios com gabarito sobre teorema do valor médio:

1- Encontre um número “c” que satisfaça a conclusão do Teorema do Valor Médio para a função

, no intervalo [1,5].

Gabarito:

1- Podemos fazer uso do Teorema do Valor Médio, pois f é uma função polinomial do segundo grau e sabemos que esse tipo de função é contínua e derivável em seu domínio, logo é contínua em [1,5] e derivável em ]1,5[. Assim, estão satisfeitas as hipóteses do teorema.

Sendo

então

Por outro lado, o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (1,f(1)) e por (5,f(5)), é dado por:

Logo, podemos encontrar pelo menos um c no intervalo ]1,5[ tal que:

| MA111 - Cálculo I | Aplicações da Derivada | Teorema do Valor Médio

Vídeo em inglês.

O teorema do valor médio nos diz quando certos valores da derivada devem existir. Criado por Sal Khan.

Exemplo do teorema do valor médio: polinômio

Vídeo em inglês.

Sal encontra o número que satisfaz o teorema do valor médio para $f(x)=x^2-6x+8$ sobre o intervalo $[2,5]$. Criado por Sal Khan.

Exemplo do teorema do valor médio: função raiz quadrada

Vídeo em inglês.

Sal encontra o número que satisfaz o teorema do valor médio para $f(x)=\sqrt{(4x-3)}$ sobre o intervalo $[1,3]$.

Link para resolver exercícios online referentes a esta micro-aula: (1).

Aplicação do teorema do valor médio

Vídeo em inglês.

Mesmo que um policial nunca te pare enquanto você estiver correndo, ele ainda pode inferir quando você estava correndo... Criado por Sal Khan.

Link para revisão do teor desta micro-aula: (1).

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O teorema do valor médio é uma aplicação do teorema de Rolle.

O Teorema de Rolle fornece uma condição suficiente para que uma dada função diferenciável tenha derivada nula em pelo menos um ponto.

Figura 5.8: Ilustração do Teorema de Rolle.

(Teorema de Rolle) Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a,b] e diferenciável no intervalo aberto (a,b). Se

então existe pelo menos um ponto crítico c∈(a,b) tal que

O polinômio p⁢(x)=x3-4⁢x2+3⁢x+1 tem pelo menos um ponto crítico no intervalo (0,1) e no intervalo (1,3). De fato,temos p⁢(0)=p⁢(1)=1 e, pelo teorema de Rolle, segue que existe pelo menos um ponto c∈(0,1) tal que f′⁢(c)=0. Analogamente, como também p⁢(1)=p⁢(3)=1, segue do teorema que existe pelo menos um ponto crítico no intervalo (1,3). Veja o esboço do gráfico de p na Figura 5.9.

Figura 5.9: Esboço do gráfico de p⁢(x)=x3-4⁢x2+3⁢x+1.

De fato, como todo polinômio é derivável em toda parte, podemos calcular os pontos críticos como segue.

p′⁢(x)=0	⇒3⁢x2-8⁢x+3=0	(5.51)
	⇒x=8±64-362⁢76	(5.52)
	⇒x1=4-73≈0,45 ou x2=4+73≈2,22.	(5.53)

Podemos usar os seguintes comandos para computar os pontos críticos de p e plotar seu gráfico:

>>> p = x**3 - 4*x**2 + 3*x + 1 >>> pc = solve(p.diff()); pc [-sqrt(7)/3 + 4/3, sqrt(7)/3 + 4/3] >>> plot(p,(x,-0.5,3.5))

Vejamos os seguintes casos em que o Teorema de Rolle não se aplica:

a)

A função

f⁢(x)={x,0≤x<1,0,x=1. (5.54)

é tal que f⁢(0)=f⁢(1)=0, entretanto sua derivada f′⁢(x)=1 no intervalo (0,1). Ou seja, a condição da f ser contínua no intervalo fechado associado é necessária no teorema de Rolle. Veja a Figura 5.10 para o esboço do gráfico desta função.

Figura 5.10: Esboço do gráfico da função referente ao Exemplo 5.3.2 a).
b)

Não existe ponto tal que a derivada da g⁢(x)=-|x-1|+1 seja nula. Entretanto, notemos que g⁢(0)=g⁢(2)=0 e g contínua no intervalo fechado [0,2]. O teorema de Rolle não se aplica neste caso, pois g não é derivável no intervalo (0,2), mais especificamente, no ponto x=1. Veja a Figura 5.11.

Figura 5.11: Esboço do gráfico da função referente ao Exemplo 5.3.2 b).

O teorema do valor médio é uma generalização do teorema de Rolle.

Figura 5.12: Ilustração do Teorema do valor médio.

(Teorema do valor médio) Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a,b] e diferenciável no intervalo aberto (a,b). Então, existe pelo menos um ponto c∈(a,b) tal que

f⁢(b)-f⁢(a)b-a=f′⁢(c).

(5.55)

Em um contexto de aplicação, o Teorema do valor médio relaciona a taxa de variação média da função em um intervalo [a,b] com a taxa de variação instantânea da função em um ponto interior deste intervalo.

A função f⁢(x)=x2 é contínua no intervalo [0,2] e diferenciável no intervalo (0,2). Logo, segue do teorema do valor médio que existe pelo menos um ponto c∈(0,2) tal que

f′⁢(c)=f⁢(2)-f⁢(0)2-0=2.

(5.56)

De fato, f′⁢(x)=2⁢x e, portanto, tomando c=1, temos f′⁢(c)=2.

(Funções com derivadas nulas são constantes) Se f′⁢(x)=0 para todos os pontos em um intervalo (a,b), então f é constante neste intervalo.

De fato, sejam x1,x2∈(a,b) e, sem perda de generalidade, x1<x2. Então, temos f é contínua no intervalo [x1,x2] e diferenciável em (x1,x2). Segue do teorema do valor médio que existe c∈(x1,x2) tal que

f⁢(x2)-f⁢(x1)x2-x1=f′⁢(c).

(5.57)

Como f′⁢(c)=0, temos f⁢(x2)=f⁢(x1). Ou seja, a função vale sempre o mesmo valor para quaisquer dois ponto no intervalo (a,b), logo é constante neste intervalo. ∎

(Função com a mesma derivada diferem por uma constante) Se f′⁢(x)=g′⁢(x) para todos os pontos em um intervalo aberto (a,b), então f⁢(x)=g⁢(x)+C, C constante, para todo x∈(a,b).

Segue, imediatamente, da aplicação do corolário anterior à função h⁢(x)=f⁢(x)-g⁢(x). ∎

(Monotonicidade e o sinal da derivada) Suponha que f seja contínua em [a,b] e derivável em (a,b).

•

Se f′⁢(x)>0 para todo x∈(a,b), então f é crescente em [a,b].
•

Se f′⁢(x)<0 para todo x∈(a,b), então f é decrescente em [a,b].

Vamos estudar a monotonicidade da função polinomial f⁢(x)=x3-4⁢x2+3⁢x+1. Na Figura 5.13, temos o esboço de seu gráfico.

Figura 5.13: Esboço do gráfico de f⁢(x)=x3-4⁢x2+3⁢x+1.

Podemos usar o Corolário 5.3.3 para estudarmos a monotonicidade (i.e. intervalos de crescimento ou decrescimento). Isto é, fazemos o estudo de sinal da derivada de f. Calculamos

f′⁢(x)=3⁢x2-8⁢x+3.

(5.58)

Logo, temos

Ou seja, f′⁢(x)<0 no conjunto (-∞,4-73)∪(4+73,∞) e f′⁢(x)<0 no conjunto (4-73,4+73). Concluímos que f é crescente nos intervalos (-∞,4-73] e [4+73,∞), enquanto que f é decrescente no intervalo [4-73,4+73].

A função exponencial f⁢(x)=ex é crescente em toda parte. De fato, temos

para todo x∈ℝ.

Um carro percorreu 150 km em 1h30min. Mostre que em algum momento o carro estava a uma velocidade maior que 80 km/h.

Seja s=s⁢(t) a função distância percorrida pelo carro e t o tempo, em horas, contado do início do percurso. Do teorema do valor médio, exite tempo t1∈(0, 1,5) tal que

f′⁢(t1)=s⁢(1,5)-s⁢(0)1,5-0=1501,5=100⁢km/h.

(5.60)

Ou seja, em algum momento o carro atingiu a velocidade de 100 km/h.

Estude a monotonicidade da função gaussiana f⁢(x)=e-x2.

Para estudarmos a monotonicidade de uma função, podemos fazer o estudo de sinal de sua derivada. Neste caso, temos

Assim, vemos que

Concluímos que f é crescente no intervalo (-∞⁢,0) e decrescente no intervalo (0,∞).

Estude a monotonicidade de f⁢(x)=x2-2⁢x.

Decrescente: (-∞⁢,1]; Crescente: [1,∞)

Estude a monotonicidade de f⁢(x)=x33-x.

Decrescente: [-1,1]; Crescente: (-∞,-1]; [1,∞)

Estude a monotonicidade de f⁢(x)=ln⁡x.