O princípio fundamental da contagem, também chamado de princípio multiplicativo, é utilizado para encontrar o número de possibilidades para um evento constituído de n etapas. Para isso, as etapas devem ser sucessivas e independentes. Se a primeira etapa do evento possui x possibilidades e a segunda etapa é constituída de y possibilidades, então existem x . y possibilidades. Portanto, o princípio fundamental da contagem é a multiplicação das opções dadas para determinar o total de possibilidades. Esse conceito é importante para a análise combinatória, área da Matemática que reúne os métodos para resolução de problemas que envolvem a contagem e, por isso, é muito útil na investigação de possibilidades para determinar a probabilidade de fenômenos. Exemplo 1 João está em um hotel e pretende ir visitar o centro histórico da cidade. Partindo do hotel existem 3 linhas de metrô que levam ao shopping e 4 ônibus que se deslocam do shopping para o centro histórico. De quantas maneiras João pode sair do hotel e chegar até o centro histórico passando pelo shopping? Solução: O diagrama de árvore ou árvore de possibilidades é útil para analisar a estrutura de um problema e visualizar o número de combinações. Observe como a constatação das combinações foi feita utilizando o diagrama de árvore. Se existem 3 possibilidades de sair do hotel e chegar até o shopping, e do shopping para o centro histórico temos 4 possibilidades, então o total de possibilidades é 12. Outra maneira de resolver o exemplo seria pelo princípio fundamental da contagem, efetuando a multiplicação das possibilidades, ou seja, 3 x 4 = 12. Exemplo 2 Um restaurante possui em seu cardápio 2 tipos de entradas, 3 tipos de pratos principais e 2 tipos de sobremesas. Quantos menus poderiam ser montados para uma refeição com uma entrada, um prato principal e uma sobremesa? Solução: Utilizaremos a árvore de possibilidades para entender a montagem dos menus com entrada (E), prato principal (P) e sobremesa (S). Pelo princípio fundamental da contagem, temos: 2 x 3 x 2 = 12. Portanto, poderiam ser formados 12 menus com uma entrada, um prato principal e uma sobremesa. Exercícios resolvidosQuestão 1Ana estava se organizando para viajar e colocou na mala 3 calças, 4 blusas e 2 sapatos. Quantas combinações Ana pode formar com uma calça, uma blusa e um sapato? a) 12 combinações b) 32 combinações c) 24 combinações d) 16 combinações
Alternativa correta: c) 24 combinações. Observe que para cada uma das 4 blusas, Ana tem 3 opções de calça e duas opções de sapato. Portanto, 4 x 3 x 2 = 24 possibilidades. Sendo assim, Ana pode formar 24 combinações com as peças da mala. Confira os resultados com a árvore de possibilidades. Um professor elaborou uma prova com 5 questões e os alunos deveriam respondê-la assinalando verdadeiro (V) ou falso (F) para cada uma das questões. De quantas maneiras distintas o teste poderia ser respondido? a) 25 b) 40 c) 24 d) 32
Alternativa correta: d) 32 respostas possíveis. Existem duas opções distintas de resposta numa sequência de cinco questões. Utilizando o princípio fundamental da contagem, temos: 2.2.2.2.2 = 32 respostas possíveis para o teste. Questão 3De quantas maneiras um número com 3 algarismos distintos pode ser formado utilizando 0, 1, 2, 3, 4 e 5? a) 200 b) 150 c) 250 d) 100
Alternativa correta: d) 100. O número formado deve conter 3 algarismos para preencher a posição de centena, dezena e unidade. Na primeira posição não podemos colocar o número 0, pois seria o mesmo que ter um número com 2 algarismos. Por isso, para a centena temos 5 opções de algarismos (1, 2, 3, 4, 5). Já para a segunda posição não podemos repetir o número que foi usado para centena, mas podemos utilizar o zero, portanto na dezena temos também 5 opções de algarismos. Como nos foi dado 6 algarismos (0, 1, 2, 3, 4 e 5) e dois que foram utilizados anteriormente não podem ser repetidos, então para a unidade temos 4 opções de algarismos. Sendo assim, 5 x 5 x 4 = 100. Temos 100 maneiras de escrever um número com 3 algarismos distintos utilizando 0, 1, 2, 3, 4 e 5. Adquira mais conhecimento com os textos a seguir:
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8º ANO; LISTA 2. Princípio fundamental da contagem AV 2 4º Bim. Escola adventista de Planaltina Professor: Celmo Xavier Aluno ANÁLISE COMBINATÓRIA Introdução Consideremos o seguinte problema: Uma lanchonete oferece a seus clientes apenas dois tipos de sanduiches: hot dog hambúrguer. Como sobremesa há três opções: sorvete, torta ou salada de frutas. Quantas são as possibilidades para uma pessoa fazer uma refeição incluindo um sanduíche e uma sobremesa? De acordo com o enunciado, podemos ter as seguintes refeições: a) hot dog e sorvete; b) hot dog e torta; c) hot dog e salada de fruta; d) hambúrguer e sorvete; e) hambúrguer e torta; f) hambúrguer e salada de fruta. A determinação de tais possibilidade pode ser significativa através de um diagrama, em que, na 1ª coluna, representaremos as possibilidades de escolha do sanduíche, na 2ª coluna, as possibilidades de escolha da sobremesa. 1ª coluna 2ª coluna e Esse esquema é conhecido com diagrama da árvore. Fazendo a leitura ao longo de todas as ramificações da árvore, obtemos as possíveis refeições. Notemos que fazer uma refeição completa representa uma ação constituída de duas etapas sucessivas. 1ª escolha do tipo de sanduiche: há duas possibilidades de fazer tal escolha. 2ª escolha da sobremesa: para cada uma das possibilidades anteriores, há três maneiras de escolher a sobremesa. Assim a realização da ação (duas etapas sucessivas) pode ser feita de maneiras distintas que foram anteriormente indicadas. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM Suponhamos que uma ação seja constituída de duas etapas sucessivas. A 1ª etapa pode ser realizada de maneiras distintas. Para que cada uma dessas possibilidades, a 2ª etapa pode ser realizada de maneiras distintas. Então, o número de possibilidades de se efetuar a ação completa é dada por. Esse princípio pode ser generalizado para ações constituídas de mais de duas etapas sucessivas. Exemplo 1 Há quatro estradas ligando duas cidades A e B, e três estradas ligando as cidades B e C. de quantas maneiras distintas pode-se ir de A a C, passando por B? 1ª ir de A a B: temos quatro possibilidades 2ª ir de B a C: para cada uma das possibilidades anteriores, há três maneiras de chegar a C, a partir de B. assim, pelo princípio fundamental da contagem (PFC), o resultado procurado é Exemplo 2 Com os algarismos 1,2,3,4,5 e 6, quantos números de três algarismos distintos podemos formar? Formar um número de três algarismos pode ser considerado uma ação constituída de três etapas sucessivas, a saber: 1ª escolha do algarismos das centenas: temos seis possibilidades. 2ª escolha do algarismo das dezenas: como não pode haver repetição de algarismos, devemos ter um algarismo diferente do algarismo escolhido para a centena. Assim há cinco possibilidades. 3ª escolha do algarismo das umidades: devemos ter um algarismo diferente dos dois anteriores (centena e dezena). Assim há apenas quatro possibilidades. Pelo PFC, o resultado procurado é números. Observação Para simplificar a linguagem podemos usar a seguinte notação: 6 = 120 Número de maneiras de se efetuar a 1ª etapa 2ª etapa 3ª etapa Exemplo 3 Uma prova consta de 10 questões do tipo V ou F. de quantas maneiras distintas ela pode ser resolvida? Resolver a prova representa uma ação constituída de 10 etapas sucessivas, que corresponde à solução das 10 questões propostas. Para cada questão, há duas possibilidades de escolha de resposta: V OU F. Utilizando o esquema apresentado no exemplo anterior, temos: Número de maneiras de se responder à 1ª etapa 2ª etapa 10ª etapa Logo, pelo PFC, o resultado procurado é: Possibilidades. Exemplo 4 Quantos números de três algarismos podemos formar com os algarismos 0,1,2,3,4,5,6 e7? Vejamos: Algarismos das centenas: com exceção do zero, qualquer um dos algarismos dados pode ser escolhido, havendo sete possibilidades( notemos que, se escolhermos zero o número a ser formado constará de apenas dois algarismos; exemplo, 021 = 21); Algarismos das dezenas: não há restrição alguma, pois pode haver repetição de algarismos. Assim há 8 oito possibilidades; Algarismos das unidades: analogamente ao anterior, há oito possibilidades. Logo, pelo PFC,o total de números é Exemplo 5 Quantos números impares de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos 0,1,2,3,4,5,6 e 7? Lembrando que um número é ímpar quando termina por algarismo ímpar, vamos começar o problema analisando o algarismo da unidade. Algarismos das unidades: há quatro possibilidades de escolha (1, 3, 5 e 7); Algarismos das centenas: há seis possibilidades devemos excluir o zero e o algarismo escolhido para as unidades; Algarismo das dezenas: há seis possibilidades devemos escolher um algarismo diferente dos algarismos escolhidos para centena e unidade. Assim, temos: números. EXERCÍCIOS 1.Para ir ao clube, júnior deseja usar uma camiseta, uma bermuda e um tênis. Sabendo que ele dispõe de seis camisetas, quatro bermudas e três pares de tênis, de quantas maneiras distintas poderá vestir-se? 2. Uma agencia de turismo oferece bilhetes aéreos para o trecho são Paulo--- Miami através de duas companhias: Gol ou Varig. O passageiro pode escolher também entre primeira classe, classe executiva e classe econômica. De quantas maneiras um passageiro pode fazer tal escolha? 3. Um jantar constará de três partes: entrada, prato principal e sobremesa. De quantas maneiras distintas ele poderá ser composto, se há como opções oito entradas, cinco pratos principais e quatro sobremesas? 4. O vagão de um trem possui seis portas. De quantas maneiras distintas um passageiro pode entrar no trem e sair dele por uma porta diferente da que entrou? 5. Uma prova consta de dez testes de ampla escolha. De quantas maneiras distintas a prova pode ser resolvida, se cada teste tem cinco alternativas distintas? 6. Com os algarismos 1, 2, 4, 6, 8 e 9: a) quantos números de quatro algarismos podemos formar? b) quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar? 7. Com os algarismos 2, 3, 4, 5, 6 e 7: a) quantos números de quatro algarismos distintos começam por 3? b) quantos números pares de quatro algarismos distintos, podemos formar? 8. Quantos números de três algarismos distintos existem? 9. Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números ímpares de quatro algarismos podem formar? 10. Deseja-se formar números divisíveis por 5, compostos de quatro algarismos distintos. Quantas são as possibilidades dispondo-se dos algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6? ( analise dois casos: quando o número termina por zero e quando ele termina por 5.) 11. Com os algarismos de 0 a 9, quantos números pares de três algarismos distintos podemos formar? 12. Um ladrão sabe que o segredo de um cofre é formado por uma sequência de três algarismos distintos. Além disso, ele sabe que o algarismo das centenas é igual a 4. Se, em média, o ladrão leva 3 minutos para testar uma sequência, qual o tempo máximo para o ladrão abrir o cofre? 13. a) Em determinada cidade, as placas de automóveis são constituídas de uma sequência de duas letras e três algarismos. Quantas placas podem ser confeccionadas? (considere o alfabeto com 26 letras.) b) Para atender ao aumento do número de veículos, decidiu-se aumentar em um algarismo as placas dos carros. Se as regras para a confecção de placas permanecem as mesmas do item anterior, qual o novo total de placas? c) Para atender ao aumento do número de veículos, decidiu-se aumentar um algarismo e uma letra as placas dos carros. Se as regras para a confecção de placas permanecem as mesmas do item a, qual o novo total de placas? 14. Quantos conjuntos de iniciais podem ser formados se todas as pessoas tem um só sobre nome e: a) exatamente um nome? b) exatamente dois nomes? 15. As atuais placas de licenciamento constam de sete símbolos, sendo três letras, dentre as 26 do alfabeto, seguidas de quatro algarismos. a) Quantas placas distintas podemos ter sem o algarismo zero na 1ª posição reservadas aos algarismos? b) No conjunto de todas as placas distintas possíveis, qual a porcentagem daquelas que tem duas primeiras letras iguais? |
Princípio fundamental da contagem exercícios doc
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