A motivação para o estudo das operações entre conjuntos vem da facilidade que elas trazem para a resolução de problemas numéricos do cotidiano. Utilizaremos algumas ferramentas gráficas, como o diagrama de Venn-Euler, para definir as principais operações entre dois ou mais conjuntos, sendo elas: união de conjuntos, intersecção de conjuntos, diferença de conjuntos e conjunto complementar. Show Tópicos deste artigoUnião de conjuntosA união entre dois ou mais conjuntos será um novo conjunto constituído por elementos que pertencem a, pelo menos, um dos conjuntos em questão. Formalmente o conjunto união é dado por: Sejam A e B dois conjuntos, a união entre eles é formada por elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B. Em outras palavras, basta unir os elementos de A com os de B. Exemplo:a) Considere os conjuntos A = {0, 2, 4, 6, 8, 10} e B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}: A U B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} b) A = {x | x é um número par natural} e B {y | y é um número ímpar natural} A união de todos os pares naturais e todos os ímpares naturais resulta em todo o conjunto dos números naturais, logo, temos que: Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) Intersecção de conjuntosA intersecção entre dois ou mais conjuntos também será um novo conjunto formado por elementos que pertencem, ao mesmo tempo, a todos os conjuntos envolvidos. Formalmente temos: Sejam A e B dois conjuntos, a intersecção entre eles é formada por elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B. Desse modo, devemos considerar somente os elementos que estão em ambos os conjuntos. Exemploa) Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {0, 2, 4, 6, 8, 10} e C = {0, –1, –2, –3} A ∩ B = {2, 4, 6} A ∩ C = { } B ∩ C = {0} O conjunto que não possui nenhum elemento é chamado de conjunto vazio e pode ser represento de duas formas. Leia também: Definição de conjunto Diferença de conjuntosA diferença entre dois conjuntos, A e B, é dada pelos elementos que pertencem a A e não pertencem a B. No diagrama de Venn-Euler, a diferença entre os conjuntos A e B é: ExemploConsidere os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7} e C = { }. Vamos determinar as seguintes diferenças. A – B = {5} A – C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} C – A = { } Observe que, no conjunto A – B, tomamos inicialmente o conjunto A e “tiramos” os elementos do conjunto B. No conjunto A – C, tomamos o A e “tiramos” o vazio, ou seja, nenhum elemento. Por último, em C – A, tomamos o conjunto vazio e “tiramos” os elementos de A, que, por sua vez, já não estavam lá. Leia também: Notações importantes sobre conjuntos Conjuntos complementaresConsidere os conjuntos A e B, em que o conjunto A está contido no conjunto B, isto é, todo elemento de A também é elemento de B. A diferença entre os conjuntos, B – A, é chamada de complementar de A em relação a B. Em outras palavras, o complementar é formado por todo elemento que não pertence ao conjunto A em relação ao conjunto B, em que ele está contido. ExemploConsidere os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e B ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. O complementar de A em relação a B é: Exercícios resolvidosQuestão 1 – Considere os conjuntos A = {a, b, c, d, e, f} e B ={d, e, f, g, h, i}. Determine (A – B) U (B – A). Solução Inicialmente determinaremos os conjuntos A – B e B – A e, em seguida, realizaremos a união entre eles. A – B = {a, b, c, d, e, f} – {d, e, f, g, h, i} A – B = {a, b, c} B – A = {d, e, f, g, h, i} – {a, b, c, d, e, f} B – A = {g, h, i} Logo, (A – B) U (B – A) é: {a, b, c} U {g, h, i} {a, b, c, g, h, i} Questão 2 – (Vunesp) Suponhamos que A U B = {a, b, c, d, e, f, g, h}, A ∩ B = {d, e} e A – B = {a, b, c}, então: a) B = {f, g, h} b) B = {d, e, f, g, h} c) B = { } d) B = {d, e} e) B = {a, b, c, d, e} Solução Alternativa b. Dispondo os elementos no diagrama de Venn-Euler, segundo o enunciado, temos: Portanto, o conjunto B = {d, e, f, g, h}. Por Robson Luiz --- Utilizando a definição de conjunto intersecção, como \(A = \left\{ {1,2,3,4} \right\}\), \(B = \left\{ {4,5,6} \right\}\) e \(C = \left\{ {1,6,7,8,9} \right\}\), percebemos que o elemento \(4\) é comum aos conjuntos \(A\) e \(B\). Logo, o conjunto \(A\) intersecção \(B\) pode ser denotado por \(A \cap B = \left\{ 4 \right\}\). --- Agora, utilizando a definição de conjunto união, podemos perceber que os elementos \(1\), \(4\), \(6\), \(7\), \(8\) e \(9\) pertencem ou ao conjunto intersecção, ou ao conjunto \(C\). Assim, temos que \(\left( {A \cap B} \right) \cup C = \left\{ {1,4,6,7,8,9} \right\}\). --- Portanto, o conjunto pedido é \(\boxed{\left( {A \cap B} \right) \cup C = \left\{ {1,4,6,7,8,9} \right\}}\). 1,2,3,4∩4,5,6=(4) ► 4UC= (1,4,6,7,8,9) |