Como resolver raiz quadrada fracao

Números decimais quando dentro de uma raiz quadrada possuem algumas peculiaridades ao calcular o seu valor, mas as propriedades sobre radiciação continuam valendo. Seja a igualdade

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dizemos que b é a raiz quadrada de a, ou seja:

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Propriedades de radiciação
Calculando o valor de raízes
Racionalizando denominadores de uma fração

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O símbolo

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é conhecido por radical, a é o radicando e n é o índice.

Propriedades de radiciação

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10.

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Como estamos lidando apenas com raízes quadradas de números decimais neste texto, consideremos a partir de agora que o índice sempre será 2.

Calculando o valor de raízes

Exemplo 1) Vamos calcular o valor de

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O método mais simples para calcularmos essa raiz é aquele em que transformamos o número decimal em uma fração:

Então, se seguirmos a propriedade (6), temos:

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Exemplo 2) Calcule

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Transformando em fração:

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Então:

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Exemplo 3) Agora, vamos calcular um número decimal com dízima periódica numa raiz quadrada:

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Ao calcularmos a fração geratriz de

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obtemos:

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Então:

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Exemplo 4) Um exemplo interessante agora. Vamos calcular:

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Ao calcularmos a fração geratriz de obtemos:

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Então:

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Esta é uma das formas de provar que 0,999... = 1.

Referências Bibliográficas

DEMANDA, Franklin D; WAITS, Bert K.; FOLEY, Gregory D.; KENNEDY, Daniel. Pré Calculo. São Paulo: Pearson, 2013.

MORGADO, A. C.; WAGNER, E.; JORGE, M. Álgebra I. São Paulo: Livraria Francisco Alves Editora S.A., 1974.

Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/raiz-quadrada-de-numeros-decimais/

Racionalização de denominadores é uma técnica para tornar frações com denominadores irracionais em racionais.

As frações cujo denominador é uma raiz, podem ser transformadas em uma fração com denominador que não seja uma raiz, sem alterar o seu resultado.

Utilizamos a técnica de racionalização de denominadores para facilitar o cálculo, pois trabalhar com números irracionais é um pouco complicado. Além disso, números irracionais apresentam pouca precisão no resultado.

Multiplicaremos o numerador e denominador pelo mesmo número com a finalidade de eliminar a raiz do denominador. Esse processo transformará uma fração com denominador irracional em uma fração equivalente.

Racionalizando denominadores de uma fração

Para racionalizar denominadores precisamos eliminar o denominador irracional, faremos isso conhecendo alguns métodos do mais simples para os mais complexos.

Racionalizar uma fração com raiz quadrada no denominador é o caso mais simples.

Exemplo:

Considere a seguinte fração:

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Para racionalizar frações com denominadores que são raízes quadradas, devemos multiplicar toda a fração pela mesma raiz quadrada do denominador. Assim:

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Nesse caso, dizemos que √2 é o fator racionalizante da fração.

Conforme a propriedade de radiciação, eliminamos a raiz quadrada multiplicando a raiz por ela mesma, pois √2 . √2 = 2.

Exemplo:

Considere a seguinte fração:

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Da mesma forma, racionalizá-la é multiplicar toda a fração por √10, assim:

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Bom, como você já viu, caro leitor, racionalizar frações com raiz quadrada é extremamente simples. Vamos agora ver quando a fração não possui um denominador com uma raiz quadrada.

Para as frações cujos denominadores não são raízes quadradas, isto é, quando o índice não é 2, temos que seguir a seguinte regra:

Quando multiplicarmos uma fração com denominador:

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Devemos multiplicar o numerador e denominador da fração por:

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pois,

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Exemplo:

Considere a seguinte fração:

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Onde:

Nessa passo é importante saber as propriedades de radiciação.

Quando temos uma fração um denominador com uma soma ou subtração, o fator racionalizante é o seguinte:

√a – √b o fator racionalizante é √a + √b;
√a + √b o fator racionalizante é √a – √b;
√a + b o fator racionalizante é √a – b;
√a – b o fator racionalizante é √a + b;
a + √b o fator racionalizante é a – √b;
a – √b o fator racionalizante é a + √b;

Ou seja, quando temos uma soma ou subtração no denominador, o fator racionalizante é o mesmo denominador com a operação inversa. Se for uma soma trocamos o sinal para a subtração e vice-versa.

Exemplo:

Considere a seguinte fração:

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Racionalizar o denominador dessa fração é multiplicar o numerador e denominador por √3 – 2, assim:

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Se tivermos uma fração cujo denominador é uma soma ou subtração, sendo um dos dois uma raiz cúbica, devemos multiplicar o numerador e denominador obedecendo o seguinte:

Se for uma soma: a² – ab + b²;
Se for uma subtração: a² + ab + b².

Exemplo:

Considere a fração a seguir:

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Vamos racionalizá-la seguindo as regras acima, assim:

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Veja como multiplicamos o denominador fazendo a distributiva:

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Lembrando que 8 = 2³.

Lembrete: