A raiz quadrada é uma operação matemática que acompanha todos os níveis escolares. Trata-se de um caso particular de radiciação, no qual o índice do radical é igual a 2, ou seja, é a operação inversa das potências de expoente igual a 2. Quando um número positivo possui raiz quadrada exata, dizemos que esse número é um quadrado perfeito. Show Leia também: Propriedades envolvendo números complexos Definição e nomenclatura dos elementos da radiciaçãoSejam a e b dois números reais e n um número natural diferente de zero, então: a = radicando n = índice √ = radical As raízes quadradas, como dito, são um caso particular de radiciação. Ao escrever uma raiz quadrada, não é necessário explicitar o índice igual a dois. Para os demais tipos de raízes, é obrigatório colocar o índice, ou seja, para n = 3, n = 4, n = 5 …, é necessário deixar explícito no índice do radical o valor de n. Leia também: Redução de radicais ao mesmo índice Para calcular a raiz quadrada de um número real, basta seguir a definição de radiciação: A definição nos diz que a raiz quadrada de um número real a é o número b se, e somente se, o número b elevado ao quadrado for igual ao número a, ou seja, temos que imaginar um número que, ao quadrado, resulte no número dentro do radical. Exemplos: √36 = 6, pois 62 = 36 √121 = 11, pois 112 = 121 Os números que possuem raiz quadrada são denominados quadrados perfeitos. Assim, dos exemplos acima, os números 36 e 121 são quadrados perfeitos. Quando o número não é um quadrado perfeito, é necessário realizar o cálculo de raízes não exatas. Observações:1. Perceba, com base na definição de raiz quadrada, que sempre procuramos um número que, quando elevado ao quadrado, resulta no número dentro do radical. Tendo em vista as propriedades da potenciação, sabemos que um número ao quadrado é sempre positivo. Isso nos leva a concluir que não é possível extrair raiz quadrada de um número negativo no conjunto dos números reais. Exemplo: √ — 36 = ? Do exemplo acima, teríamos que imaginar um número que, elevado ao quadrado, resultaria em -36. No conjunto dos números reais, isso não é impossível. 2. Caso o radicando seja um número relativamente grande, o que impossibilitaria o cálculo mental, basta fazer a decomposição em primos e agrupar sempre que possível em potências de expoente dois. Exemplo: Vamos determinar o valor da raiz quadrada de 441. √441 Para determinar a raiz de 441, vamos fazer a decomposição em primos: 441 = 32 . 72 Assim, √441 = √32 . 72 Agora, aplicando as propriedades de radiciação, temos que: √441 = 3 . 7 = 21 O número 21 elevado ao quadrado é igual a 441. Mapa Mental: Raiz Quadrada*Para baixar o mapa mental em PDF, clique aqui! Interpretação geométrica da raiz quadradaImagine um terreno com área de 144 m2. Para determinar quanto mede o lado desse terreno em forma de quadrado, temos que relembrar como calcular sua área. Aquadrado = l2 A representa o valor da área, e l é o valor do lado. Como a área vale 144 m2, temos que: 144= l2 Observe a equação acima. Note que precisamos encontrar um número que, elevado ao quadrado, seja igual a 144, isto é, temos a definição de raiz quadrada! Então: √144 = 12 O número 144 na forma fatorada é: 144 = 22 . 22 . 32 Assim, vamos ter que: √144 = √22 . 22 . 32 Por fim, √144 = 2 . 2 . 3 = 12 Portanto, o lado do terreno mede 12 m. Exercícios resolvidos1. Elabore uma lista com os quadrados perfeitos de 1 a 100. Os quadrados perfeitos de 1 a 100 são: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100 2. Determine a raiz quadrada do número 1024. √1024 Para determinar a raiz de 1024, vamos fazer a decomposição em primos: 1024 = 22 . 22 . 22 . 22 . 22 Então, Considerando a segunda igualdade com as propriedades da radiciação já aplicadas. *Mapa Mental por Luiz Paulo Silva Por Robson Luiz
A radiciação é a operação que usamos para encontrar um número que multiplicado por ele mesmo um determinado número de vezes, é igual a um valor conhecido. Aproveite os exercícios resolvidos e comentados para tirar suas dúvidas sobre essa operação matemática. Questão 1Fatore o radicando de
Resposta correta: 12. 1º passo: fatorar o número 144
2º passo: escrever 144 na forma de potência
Observe que 24 pode ser escrito como 22.22, pois 22+2= 24 Portanto, 3º passo: substituir o radicando 144 pela potência encontrada Neste caso temos uma raiz quadrada, ou seja, raiz de índice 2. Logo, como uma das propriedades da radiciação é podemos eliminar a raiz e resolver a operação.
Qual o valor de x na igualdade ? a) 4 b) 6 c) 8 d) 12
Resposta correta: c) 8. Observando o expoente dos radicandos, 8 e 4, podemos perceber que 4 é a metade de 8. Portanto, o número 2 é o divisor comum entre eles e isso é útil para descobrir o valor de x, pois segundo uma das propriedades da radiciação . Dividindo o índice do radical (16) e o expoente do radicando (8), descobrimos o valor de x da seguinte forma:
Logo, x = 16 : 2 = 8. Questão 3Simplifique o radical .
Resposta correta: . Para simplificar a expressão, podemos retirar da raiz os fatores que possuem expoente igual ao índice do radical. Para isso, devemos reescrever o radicando de maneira que o número 2 apareça na expressão, já que temos uma raiz quadrada.
Substituindo os valores anteriores no radicando, temos:
Como , simplificamos a expressão. Questão 4Sabendo que todas as expressões são definidas no conjunto dos números reais, determine o resultado para: a) b) c) d)
Resposta correta: a) pode ser escrito como Sabendo que 8 = 2.2.2 = 23 substituímos o valor de 8 no radicando pela potência 23.
b)
c)
d)
Questão 5Reescreva os radicais ; e de forma que os três apresentem o mesmo índice.
Resposta correta: . Para reescrever os radicais com o mesmo índice, precisamos encontrar o mínimo múltiplo comum entre eles.
MMC = 2.2.3 = 12 Portanto, o índice dos radicais deve ser 12. Entretanto, para modificar os radicais precisamos seguir a propriedade . Para mudar o índice do radical devemos utilizar p = 6, pois 6 . 2 = 12
Para mudar o índice do radical devemos utilizar p = 4, pois 4 . 3 = 12
Para mudar o índice do radical devemos utilizar p = 3, pois 3 . 4 = 12
Questão 6Qual o resultado da expressão ? a) b) c) d)
Resposta correta: d) . Pela propriedade dos radicais , podemos resolver a expressão da seguinte forma:
Racionalize o denominador da expressão .
Resposta correta: . Para retirar o radical do denominador do quociente devemos multiplicar os dois termos da fração por um fator racionalizante, que é calculado subtraindo o índice do radical pelo expoente do radicando: Sendo assim, para racionalizar o denominador o primeiro passo é calcular o fator.
Agora, multiplicamos os termos do quociente pelo fator e resolvemos a expressão. Portanto, racionalizando a expressão temos como resultado . Questão 8Determine o diâmetro de uma esfera com volume igual a cm³.
Resposta: o diâmetro será de 6 cm. O volume de uma esfera é calculado segundo a seguinte equação:
Em que R é o raio da esfera e, portanto, o diâmetro é igual a 2R. R deve estar isolado em um membro da equação, de forma que:
Substituindo o valor de V, temos:
Para determinar o valor de R, aplicamos uma raiz cúbica nos dois membros da equação.
Portanto, o diâmetro da esfera será de 2R = 2.3 = 6 cm. Questão 9Sendo e determine o valor de .
Resposta: Substituindo os valores de a e b na equação, temos: Embora os índices das raízes sejam iguais, os radicando são diferentes. Devemos fatorar o 3 125. Como o índice da raiz é 4, é conveniente escrever 3 125 na forma fatorada como ao invés de . Isto irá ajudar a simplificação. Substituindo o 3 125 por sua forma fatorada no radicando, a expressão ficará: Como dentro da raiz há um produto, podemos desmembrá-lo,
Cancelando o índice e o expoente igual e multiplicando 2 por 5,
Questão 10Simplifique a expressão utilizando propriedades das raízes.
Resposta: No numerador, as raízes possuem índices diferentes. Podemos multiplicar pelo mesmo fator tanto o índice quanto o expoente do radicando, afim de igualar os índices.
Ao multiplicar índice e expoente do radicando pelo mesmo fator, não alteramos a raiz. Aplicando na expressão da questão:
Agora os índices são iguais e podemos multiplicar as raízes,
Devemos racionalizar a fração para não deixar um número irracional no denominador. Para isto, basta multiplicar tanto o denominador quanto o numerador pela raiz quadrada de três.
Repetindo o processo, podemos utilizar a mesma propriedade na raiz de três para igualar os índices das raízes.
Com os índices iguais, é possível multiplicar as raízes no numerador,
(IFSC - 2018) Analise as afirmações seguintes: I. II. III. Efetuando-se , obtém-se um número múltiplo de 2. Assinale a alternativa CORRETA. a) Todas são verdadeiras. b) Apenas I e III são verdadeiras. c) Todas são falsas. d) Apenas uma das afirmações é verdadeira. e) Apenas II e III são verdadeiras.
Alternativa correta: b) Apenas I e III são verdadeiras. Vamos resolver cada uma das expressões para verificar quais são verdadeiras. I. Temos uma expressão numérica envolvendo várias operações. Neste tipo de expressão, é importante lembrar que existe uma prioridade para efetuar os cálculos. Assim, devemos começar com a radiciação e potenciação, depois a multiplicação e divisão e, por último, a soma e subtração. Outra observação importante é com relação ao - 52. Se houvesse parênteses, o resultado seria +25, mas sem os parênteses o sinal de menos é da expressão e não do número. Portanto, a afirmação é verdadeira. II. Para resolver essa expressão, iremos considerar as mesmas observações feitas no item anterior, adicionando que resolvemos primeiro as operações dentro dos parênteses. Neste caso, a afirmação é falsa. III. Podemos resolver a expressão utilizando a propriedade distributiva da multiplicação ou o produto notável da soma pela diferença de dois termos. Assim, temos:
Como o número 4 é um múltiplo de 2, essa afirmação também é verdadeira. Questão 12(CEFET/MG - 2018) Se , então o valor da expressão x2 + 2xy +y2 – z2 é a) d) 0
Alternativa correta: c) 3. Vamos começar a questão simplificando a raiz da primeira equação. Para isso, passaremos o 9 para a forma de potência e dividiremos o índice e o radicando da raiz por 2:
Considerando as equações, temos:
Como as duas expressões, antes do sinal de igual, são iguais, concluímos que:
Resolvendo essa equação, encontraremos o valor do z:
Substituindo esse valor na primeira equação:
Antes de substituir esses valores na expressão proposta, vamos simplificá-la. Note que: x2 + 2xy + y2 = (x + y)2 Assim, temos:
Questão 13(Aprendiz de Marinheiro - 2018) Se , então o valor de A2 é: a) 1 b) 2 c) 6 d) 36
Alternativa correta: b) 2 Como a operação entre as duas raízes é a multiplicação, podemos escrever a expressão em um único radical, ou seja:
Agora, vamos elevar o A ao quadrado:
Como o índice da raiz é 2 (raiz quadrada) e está elevado ao quadrado, podemos retirar a raiz. Assim:
Para multiplicar, usaremos a propriedade distributiva da multiplicação: Questão 14(Aprendiz de Marinheiro - 2017) Sabendo que a fração é proporcional à fração , é correto afirmar que y é igual a: a) 1 - 2
Alternativa correta: e) Sendo as frações proporcionais, temos a seguinte igualdade:
Passando o 4 para o outro lado multiplicando, encontramos:
Simplificando todos os termos por 2, temos:
Agora, vamos racionalizar o denominador, multiplicando em cima e embaixo pelo conjugado de :
Questão 15(CEFET/RJ - 2015) Seja m a média aritmética dos números 1, 2, 3, 4 e 5. Qual é a opção que mais se aproxima do resultado da expressão abaixo?
a) 1,1 b) 1,2 c) 1,3 d) 1,4
Alternativa correta: d) 1,4 Para começar, iremos calcular a média aritmética entre os números indicados:
Substituindo esse valor e resolvendo as operações, encontramos:
Questão 16(IFCE - 2017) Aproximando os valores de até a segunda casa decimal, obtemos 2,23 e 1,73, respectivamente. Aproximando o valor de até a segunda casa decimal, obtemos a) 1,98. b) 0,96. c) 3,96. d) 0,48. e) 0,25.
Alternativa correta: e) 0,25 Para encontrar o valor da expressão, iremos racionalizar o denominador, multiplicando pelo conjugado. Assim: Resolvendo a multiplicação:
Substituindo os valores da raízes pelos valores informados no enunciado do problema, temos:
Questão 17(CEFET/RJ - 2014) Por qual número devemos multiplicar o número 0,75 de modo que a raiz quadrada do produto obtido seja igual a 45? a) 2700 b) 2800 c) 2900 d) 3000
Alternativa correta: a) 2700 Primeiro, vamos escrever 0,75 na forma de fração irredutível:
Iremos chamar de x o número procurado e escrever a seguinte equação:
Elevando ao quadrado ambos os membros da equação, temos: Questão 18(EPCAR - 2015) O valor da soma é um número a) natural menor que 10 b) natural maior que 10 c) racional não inteiro d) irracional.
Alternativa correta: b) natural maior que 10. Vamos começar racionalizando cada parcela da soma. Para isso, iremos multiplicar o numerador e o denominador das frações pelo conjugado do denominador, conforme indicado abaixo: Para efetuar a multiplicação dos denominadores, podemos aplicar o produto notável da soma pela diferença de dois termos.
S = 2 - 1 + 14 = 15 Você também pode se interessar por: |