O que você entende por ponto reta plano e espaço

Ponto, reta, plano e espaço são os nomes dados a conceitos matemáticos intuitivos que não possuem definição e que dão as bases necessárias para a construção da Geometria. Embora não possuam definição, esses conceitos podem ser discutidos e explicados a partir de algumas de suas características e também do seu uso e de sua importância para a Geometria.

Ponto

Os pontos não possuem definição e é impossível tomar qualquer medida sobre um ponto, pois ele não possui dimensão alguma. Um objeto que não possui dimensão é o que dá maior precisão às localizações no espaço. Por exemplo, se um ponto fosse redondo, em que parte dessa figura seria, precisamente, determinada localização sobre um mapa?

Sendo assim, muitas vezes os pontos são compreendidos como localizações no espaço, e é essa ideia que dá bases para a geometria analítica.

Reta

As retas são compreendidas como conjuntos de pontos. Geometricamente, uma reta é uma linha que não faz curva. Com isso, podemos imaginar que as retas são uma sequência de pontos enfileirados que não fazem curva alguma e sem que haja buracos entre esses pontos.

Note que, tomados dois pontos quaisquer sobre uma reta, podemos definir que:

• Existem infinitos pontos entre eles;

• É possível medir a distância entre eles;

• É impossível medir a largura do intervalo entre os pontos, somente o seu comprimento, que é a distância entre os dois pontos.

Sendo assim, dizemos que a reta é uma “figura geométrica” unidimensional (possui uma única dimensão).

Perceba que, dentro de uma reta, pode existir uma semirreta, um segmento de reta, um ponto ou todos eles. Por isso, dizemos que a reta é um “espaço unidimensional”. Assim, na Geometria, a palavra espaço não é usada apenas no sentido convencional, mas para qualquer “lugar” onde possam existir figuras geométricas com o mesmo número de dimensões ou menos.

Plano

Os planos são conjuntos de pontos formados por uma sequência de retas que não fazem curva. Tomando um plano horizontal como exemplo, sabemos que ele foi formado por infinitas retas. Qualquer reta que tenha sido colocada um pouco acima ou abaixo não faz parte desse plano.

Sobre os planos é possível desenhar figuras que possuem comprimento e largura, por isso, ele é bidimensional. É impossível desenhar qualquer objeto que possua profundidade, a não ser em perspectiva, sobre um plano. A figura a seguir mostra o esquema de uma piscina desenhada sobre o plano.

Perceba que somente a superfície da piscina está em contato com o plano, isto é, somente a parte necessária para medir seu comprimento e sua largura. Sua profundidade (também chamada de altura, a depender da figura geométrica) está toda fora do plano. Para contemplar a profundidade, é necessário definir a terceira dimensão.

Como o plano é bidimensional, infinito e ilimitado, todas as figuras geométricas que possuem duas, uma ou nenhuma dimensão podem ser construídas nele. Assim, o plano é o “espaço bidimensional”.

Espaço

Tendo em vista a imagem anterior, bastaria definir uma terceira dimensão que contemplasse todo o espaço acima e abaixo do plano para que toda a piscina pertencesse a ele. Esse espaço é obtido pelo empilhamento de planos de modo que não haja nenhum espaço entre dois deles, do mesmo modo que o plano é feito de retas e que a reta é feita de pontos.

O espaço é o local onde toda a Geometria conhecida até o Ensino Médio é definida. Todos os sólidos e figuras geométricas são definidos dentro dele.

Ponto, reta, plano e espaço são noções geométricas que não possuem definição e, por essa razão, são chamados de noções primitivas da Geometria. Vamos conhecê-los melhor?

Ponto

O ponto é usado para marcar localizações no espaço. Ele foi escolhido para isso por apresentar maior precisão nessa marcação, uma vez que não possui formato ou dimensões.

Com relação às dimensões do espaço, o ponto é chamado de adimensional, pois não possui dimensão alguma. Sendo assim, é impossível tomar qualquer medida de um ponto.

Reta

As retas são conjuntos de pontos alinhados de maneira que não exista curva. Os pontos estão um imediatamente após o outro, preenchendo todos os espaços para que não haja “buracos” na reta. Elas são infinitas para duas direções opostas e sempre podemos notar duas coisas:

• Existem infinitos pontos em uma reta;

• É possível medir a distância entre eles.

Observe que não é possível medir a largura de uma reta, somente a distância entre dois de seus pontos. Por isso, dizemos que a reta, com relação às dimensões do espaço, é unidimensional. As figuras em que é possível medir comprimento e largura, por exemplo, são bidimensionais.

Sabemos que existem figuras que não podem ser desenhadas sobre uma reta. Observe o quadrado na figura a seguir:

Note que apenas dois de seus pontos pertencem à reta e que a distância entre esses pontos representa o comprimento desse quadrado.

Plano

Nos planos, é possível medir comprimentos e larguras. Se tivermos uma reta em um plano, haverá pontos fora dela que também pertencerão a esse plano.

Os planos são obtidos a partir do enfileiramento de retas de modo que elas não façam curva. Elas devem estar uma imediatamente após a outra de modo que não haja “buracos” entre elas, e esse enfileiramento deve ser infinito para duas direções. Veja um exemplo:

Sobre os planos é possível construir figuras bidimensionais, como o quadrado, triângulo, círculos etc.

Espaço

O espaço é o “lugar” onde é possível medir comprimento, largura e profundidade. Sendo assim, o espaço permite a criação de objetos tridimensionais. Ele é infinito e ilimitado para todas as direções, e sua construção pode ser imaginada a partir do enfileiramento de planos.

Por Luiz Paulo Moreira

Graduado em Matemática

Videoaulas relacionadas:

Bacharel em Matemática (FMU-SP, 2018)
Mestre em Física Teórica (UNICSUL, 2020)

O estudo da geometria está repleto de definições. Estas definições estabelecem propriedades, conceitos e entidades muito importantes. Porém, existem noções primitivas que dispensam o uso de definições, dentre elas, os conceitos de ponto, reta e plano. Podemos intuitivamente identificar essas entidades apenas com uma experiência observacional. As noções apresentadas neste artigo terão como base o espaço tridimensional.

Ponto

Um ponto, propriamente dito, é uma entidade que é caracterizada pelos seguintes postulados:

• O ponto não tem dimensão. Ele pode ser, por exemplo, um toque da caneta no papel. Representamos pontos no espaço sempre com letras maiúsculas (A, B, P, M, ...), exemplo:
  
  
• Por um ponto no espaço, passam infinitas retas.
• Todo ponto que pertence a uma reta divide-a em duas semirretas, das quais o ponto é a origem.

Reta

A reta também possui postulados:

• Uma reta não tem origem e nem extremidade. É representada sempre por letras minúsculas (r, s, t, u, ...)
• Uma reta é ilimitada e infinita, logo não é possível determinar o seu comprimento.
• Uma reta é um conjunto de infinitos pontos.
• Dois pontos distintos determinam ou individualizam uma reta.

Quando escolhemos como referência um ponto numa reta , ela fica dividida em dois conjuntos de pontos. Cada um desses conjuntos de pontos recebe o nome de semirreta ou raio.

Plano

Outro conceito primitivo que é caracterizado pelos seus postulados.

• Um plano pode ser formado por 3 pontos não colineares. É representado por letras gregas minúsculas .
• Ou por uma reta e um ponto fora dela. Não se esqueça que lidamos com o espaço, então este postulado é possível.
• Um plano pode ser formado por duas retas concorrentes.
• Ou também por duas retas paralelas distintas.

Referências Bibliográficas:

DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de Matemática Elementar. Volume 10: Geometria Espacial. São Paulo: Editora Atual, 2010.

WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 2000.