A soma dos 20 termos de uma PA é 500 se o primeiro termo dessa PA é 5, qual é a razão r dessa PA

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A soma dos termos de uma progressão aritmética (PA) pode ser obtida por meio da seguinte fórmula:

Nessa fórmula, Sn representa a soma dos termos, a1 é o primeiro termo e an é o último termo da PA em questão, n é o número de termos que serão somados. Para somar os termos de uma progressão aritmética, basta substituir os valores nessa fórmula.

Exemplos de soma dos termos de uma PA

A seguir, veja dois exemplos de como a fórmula apresentada acima pode ser usada para obter a soma dos termos de uma PA.

→ Exemplo 1

Determine a soma dos termos da seguinte PA: (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40).

Para usar a fórmula dada, observe que:

a1 = 2

an = 40

n = 20

Esse último dado (número de termos) foi obtido contando os termos da PA. Aplicando esses dados na fórmula, teremos:

Assim, a soma dos termos dessa PA é 420.

Note que essa fórmula só é válida para progressões aritméticas que possuem um número finito de termos. Se a PA for infinita, será necessário limitar o número de termos que serão somados. Quando isso ocorrer, pode ser necessário usar outros conhecimentos sobre PA para se obter o último termo a ser somado.

Observe a seguir um exemplo de soma dos termos de uma PA infinita:

→ Exemplo 2

Determine a soma dos 50 primeiros termos da PA a seguir: (5, 10, 15, …).

Note que essa PA é infinita, isso é evidenciado pelas reticências. O primeiro termo é 5, assim como a razão da PA, pois 10 – 5 = 5. Como queremos descobrir a soma dos 50 primeiros termos, o 50º termo será representado por a50. Para descobrir seu valor, podemos usar a fórmula do termo geral da PA:

Nessa fórmula, r é a razão da PA. Substituindo os valores dados no enunciado nessa fórmula, teremos:

Sabendo que o 50º termo é 250, podemos usar a fórmula da soma dos termos para obter a soma dos 50 primeiros termos (S50) dessa PA:

Gauss e a soma dos termos de uma PA

Conta-se que o matemático alemão Gauss foi o primeiro a usar um método alternativo para somar termos de uma PA, sem precisar somar termo por termo. Posteriormente, sua ideia de simplificação de passos acabou tornando-se a fórmula usada para encontrar a soma.

Conta a história que, quando criança, Gauss teve um professor que aplicou um castigo para toda a turma: somar todos os números de 1 até 100.

Gauss percebeu que as somas do primeiro número com o último, do segundo com o penúltimo e assim por diante davam o mesmo resultado:

1 + 100 = 101

2 + 99 = 101

3 + 98 = 101
…

Seu maior trabalho foi observar que, como estava somando dois números, encontraria 50 resultados iguais a 101, ou seja, a soma de todos os números de 1 até 100 poderia ser encontrada fazendo 50 .101 = 5050.

O resultado obtido por Gauss, pode ser conferido por meio da fórmula da soma dos termos de uma PA. Observe:

Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência numérica que segue a lógica a seguir: um elemento é igual ao anterior somado com uma constante real. Assim, é uma propriedade das progressões aritméticas que a diferença entre dois termos consecutivos quaisquer tenha sempre o mesmo resultado. Esse resultado é chamado de razão. A soma dos termos de uma PA pode ser calculada de maneira fácil por meio de uma fórmula, que será discutida a seguir.

O primeiro a somar termos

Gauss, matemático alemão, foi o primeiro a somar os termos de uma PA sem precisar somar todos os termos um por um. Quando criança, sua turma na escola sofreu um castigo do professor: eles deveriam somar todos os números de 1 a 100. Gauss foi o primeiro a terminar, em tempo recorde, e o único a acertar o resultado: 5050.

A explicação para isso está no fato de Gauss ter percebido que a soma do primeiro número com o último tinha 101 como resultado e que o mesmo acontecia para o segundo e penúltimo, terceiro e antepenúltimo e assim por diante. Não passou muito tempo para ele calcular que, ao final, teria 50 resultados iguais a 101 e que a soma exigida pelo professor era igual ao produto 50 por 100.

O pensamento de Gauss norteia a ideia central usada para demonstrar a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA.

Fórmula para a soma dos n primeiros termos de uma PA

Dada a PA (a1, a2, a3, …, an – 2, an – 1, an), que possui n termos, observe que o primeiro termo é a1, o segundo é a2, …, o penúltimo é an – 1 e o último é an.

Representando a soma desses termos por Sn, teremos a seguinte expressão:

Sn = a1 + a2 + a3 + … + an – 2 + an – 1 + an

Em vez de somar os termos do mesmo modo que Gauss, reescreveremos a soma como outra soma de termos de PA logo abaixo dessa, de modo que o último termo fique abaixo do primeiro, o penúltimo fique abaixo do segundo e assim por diante.

Sn = a1 + a2 + a3 + … + an – 2 + an – 1 + an

Sn = an + an – 1 + an – 2 + … + a3 + a2 + a1

Observe que, se somarmos as duas expressões, teremos o dobro da mesma soma que Gauss fez.

Sn = a1 + a2 + a3 + … + an – 2 + an – 1 + an

+ Sn = an + an – 1 + an – 2 + … + a3 + a2 + a1

2Sn = (a1 + an) + (a2 + an – 1) + (a3 + an – 2) + … + (an – 2 + a3) + (an – 1 + a2) + (an + a1)

Mantendo o mesmo pensamento de Gauss, os resultados dessas somas entre parênteses serão iguais aos do primeiro termo somado ao último. Podemos substituir, portanto, todos os termos por (a1 + an). Observe:

2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + ... + (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an)

Para finalizar, observe que a soma que obtivemos aqui é diferente da soma que Gauss obteve, pois possui exatamente os n termos que a PA possui. A de Gauss possuía apenas metade, pois ele somou os termos de uma mesma PA. A soma que desenvolvemos, contudo, possui todos, pois nós duplicamos cada termo antes de somá-los. Desse modo, podemos trocar toda a soma acima pela multiplicação por n, que é o número inicial de termos. Assim, resolvendo a equação, teremos a fórmula pretendida:

2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + ... + (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an)

2Sn = n(a1 + an)

Sn = n(a1 + an)
2

*n é o número de termos; a1 e an são o primeiro e o último termo, respectivamente.

Exemplo

Dada a PA (2, 4, 6, 8, 10, …), calcule a soma dos seus 100 primeiros termos.

Para calcular essa soma, é necessário conhecer o último termo dessa PA. Para tanto, usaremos a fórmula do termo geral de uma PA.

an = a1 + (n – 1)r

a100 = 2 + (100 – 1)2

a100 = 2 + (99)2

a100 = 2 + 198

a100 = 200

Agora, usando a fórmula para soma dos n primeiros termos de uma PA, teremos:

S100 = 100(2 + 200)
2

S100 = 100(202)
2

S100 = 20200
2

S100 = 10100

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