Equações fracionárias exercícios resolvidos 7 ano

1. Simplificar: 

• Simplificamos os parênteses: $latex \frac{1}{3}x-4x-8=10-2x+17$.
• Simplificamos as frações: $latex x-12x-24=30-6x+51$.
• Combinamos termos semelhantes: $latex -11x-24=-6x+81$.

2. Isole a variável: movemos -24 para a direita e -6x para a esquerda: 

$$-11x-24+24=-6x+81+24$$

$latex -11x=-6x+105$

$latex -11x+6x=-6x+105+6x$

$latex -5x=105$

3. Realizamos operações para que $latex x$ fique sozinha: dividimos ambos os lados por -5: 

$latex \frac{-5}{-5}x=\frac{{105}}{-5}$

$latex x=\frac{{105}}{-5}=-21$

4. Verifique sua resposta: substituímos o valor na equação original:

$$\frac{1}{3}(-21)-4(-21+2)=10-2(-21)+17$$

$latex -7-4(-19)=10+42+17$

$latex -7+76=10+42+17$

$latex 69=69$

Isto é correto. Resposta: $latex x=-21$.

Algumas situações-problema pedem o uso de equações algébricas fracionárias, esse tipo de equação precisa ser resolvido atendendo a algumas restrições, pois não podemos realizar divisões por zero. A seguir temos alguns problemas e suas resoluções detalhadas, para que você possa tirar todas as suas dúvidas.

Exemplo 1

Equacionando a equação, temos:

(multiplique o numerador da 1ª fração pelo denominador da 2ª fração e o numerador da 2ª fração pelo denominador da 1ª)

Exemplo 2

Exemplo 3

Equacionando a equação, temos:

Por Marcos Noé Graduado em Matemática

Equipe Brasil Escola

Equações - Matemática - Brasil Escola

A equação fracionária diferencia-se das demais equações pelo fato de que pelo menos um dos termos é uma fração algébrica, isto é, a incógnita aparece no denominador de uma fração.

Uma fração jamais pode ter denominador zero (nulo), por isso, sempre que vamos resolver uma equação fracionária, devemos analisar os denominadores para verificar em quais casos a equação não é definida.

Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 1:

2 = x – 1
x    x + 2

Nesse caso, os denominadores devem ser diferentes de zero, portanto, podemos dizer que:

x ≠ 0 e x ≠ -2

Para resolver a equação fracionária, vamos encontrar o mínimo múltiplo comum entre os dois denominadores. Feito isso, vamos dividi-lo por cada denominador e multiplicá-lo pelo seu respectivo denominador:

2(x + 2) = x(x – 1)
x(x + 2)    x(x +2)

Como ambos os denominadores são iguais, podemos desconsiderá-los, ficando apenas com:

2(x + 2) = x(x – 1)

Aplicando a propriedade distributiva, temos:

2x + 4 = x2 – x

Colocando os termos em ordem de um mesmo lado da equação, teremos montada uma equação de segundo grau:

x2 – 3x – 4 = 0

Essa equação possui coeficientes a = 1, b = – 3 e c = – 4. Vamos resolver a equação através da fórmula de Bhaskara:

x = –b ± √[b² – 4ac]
            2a

x = –(–3) ± √[(–3)² – 4.1.(–4)]
     2.1

x = +3 ± √[9 + 16]
     2

x = 3 ± √25
      2

x = 3 ± 5
       2

x' = 3 + 5 = 8 = 4
   2       2

x'' = 3 – 5 = – 2 = –1
 2        2

Portanto, os resultados possíveis são: x = 4 e x = – 1.

Exemplo 2:

3 = 5 + 1
2    x    5

Para essa equação, em razão da presença do x no denominador, temos a restrição de que x ≠ 0.

Para iniciarmos a resolução desse exemplo, devemos encontrar o mínimo múltiplo comum dos denominadores 2, 5 e x, que é 10x. Vamos então dividir esse termo por cada denominador e multiplicá-lo pelo respectivo numerador:

3.5x = 10.5 + 2x.1
10x           10x     

Como os denominadores são iguais, podemos desconsiderá-los, ficando apenas com:

3.5x = 10.5 + 2x.1

Resolvendo a equação, temos:

15x = 50 + 2x 15x – 2x = 50 13x = 50

x = 50

Portanto, o resultado da equação é 50/13.

Exemplo 3:

   2    +    1    +     2    =     1    
  x        x–2        x+2       x2–4

Vejamos para quais valores de x a equação não está definida:

x ≠ 0 x–2 ≠ 0 → x ≠ 2 x+2 ≠ 0 → x ≠ 2

x2 – 4 ≠ 0 → x2 ≠ 4 → x ≠ 2√4 → x ≠ ±2

Vamos fatorar o último denominador a fim de facilitar nossos cálculos posteriores:

   2    +    1    +     2    =      1     
    x         x–2       x+2    (x+2)(x–2)

Agora é necessário encontrar o mínimo múltiplo comum dos denominadores e, em seguida, dividi-lo por cada denominador e multiplicá-lo pelo respectivo numerador:

2.(x+2).(x–2) + 1x.(x+2) + 2x.(x–2) =        1x       
                x(x+2)(x–2)                       x(x+2)(x–2)

Como os denominadores são iguais, podemos desconsiderá-los, restando apenas:

2.(x+2).(x–2) + 1x.(x+2) + 2x.(x–2) = 1x

2(x2–4) +1x.(x+2) + 2x.(x–2) – x = 0

Aplicando a propriedade distributiva, temos:

2x2 – 8 + x2 + 2x + 2x2 – 4x – x = 0

5x2 – 3x – 8 = 0

Para resolver essa equação do segundo grau, utilizaremos a fórmula de Bhaskara, lembrando que os coeficientes dessa equação são: a = 5, b = – 3 e c = – 8.

x = –b ± √[b² – 4ac]
      2a

x = –(–3) ± √[(–3)² – 4.5.(–8)]
       2.5

x = 3 ± √[9 + 160]
     10

x'= 3 ± √169
      10

x = 3 ± 13
     10

x' = 3 +13
      10

x' = 16
      10

x' = 1,6

x'' = 3 – 13
       10

x'' = – 10
        10

x'' = – 1

Os resultados possiveis para x são: 1,6 e – 1

1) Resolver as equações abaixo: 

a) 10x + 16 = 14x + 8

b) 2(x -3) = - 3(x - 3)

c) 4(5x -3) - 64(3 -x) - 3(12x - 4) =96

d) 5(x +1) + 6(x + 2) = 9(x + 3) 

2) Resolver a equação:

3) Qual é o número cujo dobro somado com 5 é igual ao seu triplo menos 19.

5) O triplo de um número aumentado de sua terça parte é igual a 60. Qual é esse número?

6) Num jardim há cisnes e coelhos contando-se ao todo 58 cabeças e 178 pés. Quantos cisnes e coelhos há nesse jardim?

7) Um atirador ganha 4 pontos por tiro acertado no alvo e paga a metade, por multa, cada vez que erra. Após 32 tiros, tinha 86 pontos. Calcule quantos tiros acertou.

RESPOSTAS:

1- questão

a) 10x + 16 = 14x + 8  
   

    10x-14x = 8 -16

    -4x = - 8    multiplica-se por (-1)

4x = 8       divide-se os dois membros da equação por 4.  

4       4

x = 2

S:{2}

b) 2(x -3) = - 3(x - 3)   resolvendo a multiplicação;

2x - 6  = -3x + 9

2x + 3x = 9 +6

5x = 15            divide-se os dois membros da equação por 5.

 5       5

x= 3

Solução:{3}

c) 4(5x -3) - 64(3 -x) - 3(12x - 4) =96   (resolvendo as multiplicações)

(20x - 12) - (192 - 64x) - (36x - 12) = 96  (eliminando os parênteses)

20x - 12 - 192 + 64x - 36x +12 = 96

20x + 64x - 36x = 96 +  192

48x = 288  

48        48

x=6

Solução:{6}

d)  5(x +1) + 6(x + 2) = 9(x + 3) 

5x +5 + 6x + 12 = 9x + 27

5x + 6x - 9x = 27 - 5 - 12

2x = 10

x= 10  

       2

x= 5 

S:{5}

Qual é o número cujo dobro somado com 5 é igual ao seu triplo menos 19.

Montando a equação:

2x + 5 = 3x - 19

2x-3x = -19 - 5

-x = - 24   ( multiplicando ambos termos por -1)

x= 24

S:{24}

4- questão

O dobro de um número, mais cinco unidades é 27. Qual é esse número?

Montando a equação:

2x + 5 = 27

2x = 27 - 5

2x = 22

x = 22  

       2

x = 11   Solução: {11}

5- questão

O triplo de um número aumentado de sua terça parte é igual a 60. Qual é esse número?

6- questão

7-questão:

Um atirador ganha 4 pontos por tiro acertado no alvo e paga a metade, por multa, cada vez que erra. Após 32 tiros, tinha 86 pontos. Calcule quantos tiros acertou.

Vamos chamar de x o número de acertos e de y o número de erros.

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